§67纯金属电阻率的统计模型

§6.7纯金属电阻率的统计模型一．电阻率的本质二．实验规律三．电阻率研究的重要性及前人的工作四．提出“纯金属电阻率的统计模型”的基础与思路五．电阻率与声子参数的关系六．纯金属电阻率与温度的依赖关系七．高低温电阻率与温度的关系存在差异的原因八.小结九．思考题内容提要一．电阻率的本质1．金属的电阻率本质金属的电阻率与外电场和电流密度的关系为：外电场一定，电阻率大的金属电流密度就小。而电流密度正比于电子在电场方向的飘移速度。这就是说电阻率大的金属，电子的飘移速度就小。电子的飘移速度小，表明电子在外电场作用下的定向运动受到的阻力大。对于纯金属，这个阻力只能是来自晶格，是原子在平衡位置的振动引起了导电电子的散射，使电子的运动方向随时发生变化，减缓了在外电场方向的飘移速度。jjjj2.比喻：拿做广播体操作比喻。把穿越体操阵列者比喻成电子，做操者比喻成振动的原子。一旦做起操来，要想穿过这体操阵列，为了避开做操者，穿越者不得不东躲西闪。这样以来，穿过这体操阵列花费的时间就长了，穿越速度就降低了。二．实验规律高温：纯金属电阻率甚低温：后者称为Bloch-Grüneison定律问题：为什么纯金属电阻率与温度会有如此的奇异关系？T5T三.电阻率研究的重要性及前人的工作纯金属电阻率理论研究是认识和理解电子与声子相互作用的最典型的例子之一,也是超导的理论基础。包括J.Bardeen在内的不少人对纯金属电阻率与温度奇异的依赖关系进行过深入的理论研究，但“处理方法、数学积分及至结果表达式都是相当令人生畏的。”“Themanipulation,integrationandresultingexpressionsareratherformidable.”[R.J.ElliotandA.F.Gibson,AnIntroductiontoSolidStatePhysicsanditsApplications,311(1976)]，这些研究内容难以以基础课的内容向学生们讲授，高低温电阻率温度依赖性的奇异特性，其物理机理也不甚明了。问题：能否用更简单明了的模型来揭示纯金属电阻率与温度的依赖关系？四.提出“纯金属电阻率的统计模型”的基础与思路1．基础一纯金属具有电阻率，是晶格的振动引起了电子的散射，使电子的运动方向随时发生了变化。电子运动方向发生变化，说明电子与晶格之间发生了能量和动量的交换。在第三章人们把光子与晶格的能量和动量的交换，看成是光子与声子的相互碰撞。同理，我们也可以把电子与晶格之间的相互作用,看成是电子与声子之间的相互碰撞。2．基础二第三章中晶格热容是一个宏观物理量，是晶格振动的统计平均效应。爱因斯坦采取了一个平均频率的简单模型，取得了很成功的结果。电阻率也是一个宏观物理量，是电子与声子作用的统计平均效应。是否可采取平均声子的模型来处理纯金属电阻率问题呢？所谓平均声子模型，是假定声子系统由平均声子来构成，在这个系统中，每个声子的动量等于原声子系统中声子的平均动量。由上一节（§6.6）已知，对电导有贡献的只是费密面上的电子，因此纯金属电阻率可看成是费密面上的电子与平均声子相互碰撞的结果。3.由上一节可知，立方晶系金属的电阻率（1）电子浓度，电子电荷，费密面上电子的有效质量可看成与温度无关。可见电阻率与温度的依赖关系，取决于弛豫时间的倒数与温度的依赖关系。由§6.5节可知.2*nemne*mcos1',1'kkkΘ采用平均声子模型,上式简化成（2）其中是一常数，是除态外，费密面上其它电子态的总和，是电子与一个平均声子碰撞所产生的散射角。因此，对的分析，就转换成对因子和的分析。cos1',Z1kkΘZk1',kkΘcos1五．电阻率与声子参数的关系1.求是波矢为的电子在单位时间内与一个平均声子的碰撞几率，也即波矢为的电子在单位时间内与一个平均声子的碰撞次数。把电子和声子看成气体分子，电子看成A分子，声子看成B分子。按照经典分子物理统计理论，A气体分子与B气体分子单位时间内的碰撞次数，正比于A分子和B分子的平均相对速度B分子的浓度.kk2/122)(BAr',kkΘ',kkΘ费密面附近电子的平均速度,是一常数;按照德拜模型,声子的速度为金属的声速,也是常数。所以。2.求考虑正常散射过程，由下图可知(1-cos)＝*/mkFpnFFkqkq222sin222)(2)(2sin2Fkqcos1',kkΘ于是（2）式变成(3)因为是声子的平均动量，由此推出重要结论：纯金属的电阻率与声子浓度和声子平均动量的平方成正比。2)(1qnp22*)(neqnmpq六．纯金属电阻率与温度的依赖关系晶格振动采用德拜理论，,声子浓度（4）其中SqDdDnVnP0)()(111)(/TkBen32223)(SVD声子的平均动量(5),VndDnqPSD0)()(TkxB将以上诸式代入(3)式得,(6)TΘxTΘxDDedxxedxxAT/022/03511525*)(43SFBeknkmA高温时,x=（/T）0，ex1+x,得到(7)在甚低温时,x=（/T）,得到=17.6A(8)可见由平均声子模型得到的理论结果与实验规律是相符的.TΘ492DADΘ5TDΘ七．高低温电阻率与温度的关系存在差异的原因高温时：由(4)式得,,由(5)式得,是一常数;因此。甚低温时:由(4)式得,,由(5)式得,;因此有。TnpqT3TnpTq5T八.小结1.本节是认识和理解电子与声子相互作用的最典型的例子之一。2.费密面上的电子遭受声子散射是纯金属具有电阻率的根源。3.纯金属的电阻率与声子浓度和声子平均动量的平方成正比。此结论把纯金属的电阻率与声子的参数联系了起来。九．思考题由第三章Debye(德拜)定律可知：在甚低温下，固体热容与温度T3成正比。Bloch-Grüneison定律：在甚低温下，纯金属的电阻率与温度T5成正比。一个是热学问题，一个是电学问题，它们有没有本质上的联系?二者存在T2差的根源是什么？