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24.1.2垂直于弦的直径1.通过折叠、作图等方法,探索圆是轴对称图形,且对称轴有无数条.2.知道垂径定理及其推论,体会利用圆的对称性证明垂径定理;会用垂径定理解决有关的证明和计算问题.3.重点:圆的对称性,垂径定理、推论及其应用.知识点一圆的对称性阅读教材本课时“探究”至“圆是轴对称图形……”,解决下列问题.1.按照教材“探究”的要求折纸,可以发现折线两侧的半圆重合,所有的折痕都交于一点,这点就是圆心.2.要证明圆是轴对称图形,只需要证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上.完成下面的证明过程.如图,CD是直径,AA'⊥CD,连接OA、OA'.在△OAA'中,∵OA=OA',∴△OAA'是等腰三角形,又AA'⊥CD,∴AM=MA',即CD是AA'的垂直平分线,∴圆上任意点A关于直线CD的对称点A'也在圆上,∴☉O关于直线CD对称.【归纳总结】圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴.【预习自测】下列说法错误的是(B)A.圆是轴对称图形B.圆是轴对称图形,直径是它的对称轴C.圆是轴对称图形,过圆心的直线是它的对称轴D.圆是轴对称图形,它有无数条对称轴知识点二垂径定理及其推论阅读教材本课时“圆是轴对称图形……”至结束,解决下列问题.1.由知识点一可知,在上图中,有AM=MA',=,=,即直径CD平分弦AA',并且平分弦所对的弧、.2.如图,AB是☉O的弦(不是直径),作一条平分AB的直径CD,交AB于点E,那么CD会垂直AB吗?还会平分弦所对的弧吗?为什么?连接OA、OB,则OA=OB,△AOB为等腰三角形.因为直径CD平分AB,所以CD⊥AB.因为CD为直径,所以=,=.(亦可由对称性加以说明)3.由例2可以看出,运用垂径定理,常要构造半径、弦的一半和圆心到弦的距离三条线段组成的直角三角形,再利用勾股定理等加以解决.【归纳总结】1.垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.2.垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.【讨论】当弦AB为直径时,作一条平分AB的直径CD,那么CD还会垂直AB吗?还会平分弦所对的弧吗?如果不能,请画图说明.不一定,图略.【预习自测】一根排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径OB=10,截面圆的圆心O到水面的距离OC是6,则水面宽AB是(A)A.16B.10C.8D.6互动探究1:如图,已知☉O的半径为5,点A到圆心O的距离为3,则过点A的所有弦中,最短的弦长为(C)A.4B.6C.8D.10【方法归纳交流】经过圆内一点的最短的弦是经过该点且垂直于经过该点的直径的弦.互动探究2:见教材“习题24.1”第9题(不能用三角形全等证明).证明:过点O作OE⊥AB于E,则AE=BE.∵OC=OD,∴CE=DE,∴AE-CE=BE-DE,∴AC=BD.[变式训练]1.如图,连接OC,OD,将小圆隐去,得右图,设OC=OD,求证:AC=BD(不能用三角形全等证明).证明:过点O作OE⊥AB于点E,则AE=BE,又∵OC=OD,∴CE=DE,∴AE-CE=BE-DE,∴AC=BD.2.如图,连接OA、OB,将大圆隐去,设AO=BO,求证:AC=BD(不能利用三角形全等证明).证明:过点O作OE⊥AB于点E,则CE=DE,又∵OA=OB,∴AE=BE,∴AE-CE=BE-DE,∴AC=BD.互动探究3:如图,已知,请你利用尺规作图作出的中点,说出你的作法.(方法指导:连接AB,用垂径定理解决)解:图略.作法:1.连接AB;2.作AB的中垂线,交于点C,点C就是所求的点.互动探究4:某市某居民区一处圆柱形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道.如图所示,污水水面宽度为60cm,水面至管道顶部距离为10cm,问修理人员应准备内径多大的管道?解:如图,连接OA,过O作OE⊥AB,垂足为E,交圆于F,则AE=30cm.令☉O的半径为R,则OE=R-10.在Rt△AEO中,OA2=AE2+OE2,即R2=302+(R-10)2.解得R=50cm,∴修理人员应准备内径为100cm的管道.