《基本不等式》导学案

1高一数学必修53.4-01《基本不等式：2abab》导学案湖北洪湖贺龙中学崔先湖班级组别姓名【学习目标】（1）学会推导证明不等式2abab，理解不等式的几何意义。（2）知道算术平均数、几何平均数的概念（3）会用不等式求一些简单的最值问题【学习重点】应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式2baab的证明过程及应用。【学习难点】：1、基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。【知识链接】1．基本不等式ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：____________.(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥________(a，b∈R)．(2)ba＋ab≥____(a，b同号)．(3)ab≤a＋b22(a，b∈R)．(4)a＋b22____a2＋b22.3．算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为________，几何平均数为________，基本不等式可叙述为：________________________________________________.4．利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当________时，x＋y有最____值是________(简记：积定和最小)．(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当________时，xy有最____值是__________(简记：和定积最大)．阅读教材P97-100，完成下列各题1．[2012·福建卷]下列不等式一定成立的是()A．lgx2＋14＞lgx(x＞0)B．sinx＋1sinx≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.1x2＋1＞1(x∈R)2..[2012·安徽卷]设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①若abc2，则Cπ3；②若a＋b2c，则Cπ3；③若a3＋b3＝c3，则Cπ2；④若(a＋b)c2ab，则Cπ2；⑤若(a2＋b2)c22a2b2，则Cπ3.3．一批货物随17列货车从A市以akm/h的速度匀速直达B市，已知两地铁路线长400km，为了安全，两列车之间的距离不得小于a202km，那么这批货物全部运到B市，最快需要()A．6hB．8hC．10hD．12h4..已知函数y=xx94（1）若),0(x，当x为时，函数有最小值，为;（2）若52,0x，当x为时，函数有最小值，为;（3）若,4x，当x为时，函数有最小值，为;【学习过程】知识点一：利用基本不等式求函数的最值例1：求下列函数的最值（1）y＝x＋1x（2）已知54x，14245yxx（3）当时，求(82)yxx的最大值。变式一.求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.（1）231,(0)xxyxx（2）12,33yxxx（3）．203x，(23)yxx2小结：（技巧与知识）知识点二：求含条件的最值例2、（1）已知0,0xy，且191xy，求xy的最小值。（2）已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x＋2y的最值.变式二:（1）求函数152152()22yxxx的最大值。（3）若Ryx,且12yx，求yx11的最小值例3：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝1ab的最小值.变式三：1.已知a0，b0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。知识点三证明不等式例4．正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc变式三已知a、b、cR，且1abc。求证：1111118abc3知识点四基本不等式的应用例5、经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为：2920(0)31600vyvvv。（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到1.0千辆/小时）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车站的平均速度应在什么范围内？变式五、某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元。（1）设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，求函数()yfx的解析式；（2）为使仓库总面积S达到最大，正面铁栅应设计为多长？【基础达标】1．(2011·鞍山月考)已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A．2B．4C．6D．82．已知a0，b0，则1a＋1b＋2ab的最小值是()A．2B．22C．4D．53．(2011·宁波月考)设x，y满足约束条件3x－y－6≤0x－y＋2≥0x≥0，y≥0，若目标函数z＝ax＋by(a0，b0)的最大值为12，则2a＋3b的最小值为()A.256B.83C.113D．44．(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝2x的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是________．【课题小结】【当堂检测】1．设Rba,，且3ba，则ba22的最小值是A．6B．24C．22D．622．下列函数中最小值是4的是A．xxy4B．xxysin4sinC．xxy1122D．0,31122xxxy3．若)2lg(),lg(lg21,lglg,1baRbaQbaPba，则RQP,,的大小关系是.4.某加工厂需定期购买原材料，已知每千克原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元，每千克原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400千克，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管)．(1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式；(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最小，并求出这个最小值．【课后反思】本节我们最大的收获是我还存在的疑惑是对导学案的要求是