“分数的意义与分数基本性质”内容分析与案例

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“分数的意义与分数基本性质”内容分析与案例德国数学家克罗内克有一句名言:“上帝创造了自然数,其余都是人造的。”第一个“人为”的数是正分数。分数一词来自拉丁文fangere,它的意义是“分开”,通常用来叙述一个被分开的全体的各个部分。就数学而言,分数是因几何学的测量,以及自然数中的数学运算而生。例如在测量一条线段的长度时,无法用度量单位恰好量完,必须将度量单位等分成适当的小单位,使得剩余的长度恰是等分后小单位的整数倍。早在古埃及时代,已经使用分数。但是,当时的分数和我们目前所用的不同,古埃及的分数其分子都是1(如:1/2、1/3、1/4、1/5),也就是今天所说的单位分数。当古埃及人要将3个大饼分给4个人(即3/4)时,他们将分数记成1/2+1/4来表示。他们处理的过程是先将2个大饼各切成一半,每人先分得1/2个;再将剩下的1个大饼切成4块,每人可以再分到1/4;所以每人可以分得1/2+1/4。无论什么分数,都可以用古埃及分数表示。由此可见,为了解决分配的问题,当无法用整数加以解决时,人类便创造了分数。分数概念是一个核心的概念,与小学数学中很多概念有紧密联系,如整数、小数、百分数、概率、比、除法都有联系。一、分数的意义(一)分数的四个构想分数是一个兼具多重意义的数学概念,分数的意义和内涵也比较丰富。有的学者研究后提出分数的四个构想(subconstructs),即比率(部分/整体)、商、度量和运作。这四个构想不但彼此互相关联,而且还可以从不同的观点来解释分数的意义,其中部分/整体是分数发展的基础。1.“比率”是指部分与整体的关系和部分与部分的关系。其中部分与整体的关系更多地体现在真分数的含义中。例如一个圆平均分成4份,每一份是整体的1/4。又如,一个长方形面积是整个长方形的1/3,整体图形的面积应该是多少?显然,整体图形的面积应该是这样的三份。这里的1/4和1/3所反映的就是取的份数与整体份数之间的关系。部分与部分之间的关系更多地表现为是一种“记号”。例如:小红有5个苹果,小丽有3个苹果,小红的苹果是小丽的5/3倍。对比率维度的理解,可以帮助学生完成对分数的基本性质以及通分、约分等相关知识的正确认识。2.“度量”指的是可以将分数理解为分数单位的累积。例如,3/4里面有3个1/4,就是用分数1/4作为单位度量3次的结果。“数起源于数,量起源于量。”自然数主要用于“数”个数,即离散量的个数。当测量连续量(如物体的长度)时,先需要选定度量单位,数被测物体中包含多少个度量单位,不能数尽,为了得到更准确的值,把原来的度量单位分割为更小的度量单位(平均分为10等份,以其中一份作为新的度量单位)。3.“运作”主要指的是将对分数的认识转化为一个运算的过程。例如,想知道6张纸的2/3是多少张纸,学生将理解为整体6张纸的2/3,即将6张纸这个整体平均分成3份,取其中的2份,列出算式就是6÷3×2,也就是6×2/3。4.“商”这个维度主要是指分数转化为除法之后运算的结果,它使学生对于分数的认识由“过程”凝聚到“对象”,即分数也是一个数,也可以和其他数一样进行运算。(二)分数的作用与无量纲性的意义小学阶段分数扩充缘于什么需要?分数的作用是什么?分数的无量纲性的意义是什么?分数的扩充一般有两种需要:一是分东西的过程中,需要对一个物体进行切割与分配时,整体中的“部分”无法用自然数来表示,就需要有刻画“部分”的方式方法;二是计算过程中,2÷3=?无法用自然数表示计算的得数,就需要有刻画这类除法运算结构的方式方法。分数有两个作用:一个是作为有理数出现的一种数,作为运算中出现的一种数,它能和其他的数一样参加运算。另一个作用是以比例的形式出现的数。最重要的分数是真分数,它代表一件事物的一部分,其本质在于它的无量纲量性。比如:盘子大小1/2代表的实际意义,与足球场大小的1/2代表的实际意义是不尽相同的,但在讨论分数时是等价的。关于分数的无量纲性,量纲一词来源于物理,比较通俗地解释是:基本物理量的度量单位,例如长短、体积、质量、时间等等的单位。这些单位反映物理现象或物理量的度量,叫做“量纲”。无量纲就是没有单位的量。通常是比值或者概率。分数的本质在于它的无量纲性,即用分数表示部分与整体的关系时,不需要考虑物体的形状、大小,只看把这个物体或整体平均分成了几份,要表示这样的几份,分母、分子就对应的是几。分数的无量纲性的意义在于,能够把事物的许多不可比的状态变成可比的状态。例如:一个小国家老百姓的生活质量和富有程度,与一个大国家老百姓的生活质量和富有程度,在很多情况下并不是可比的,但是,一旦转换成人均GDP得到GDP指数,或者得到恩格尔系数就可以进行相互间比较了。通常用百分数来表示这种增长率:增长率=[(今年GDP–去年GDP)/去年GDP]×100%。三、分数意义的教学注意事项分数意义的教学分两段:第一学段是分数的初步认识,第二学段是分数的再认识。分数初步认识中的“初步”主要是指:(1)单位“1”由一个物体组成;(2)不概括、抽象出分数的定义;(3)分母比较小;(4)不研究假分数的含义。分数概念的引入可以从以下两方面考虑:(1)从平均分东西中,由分得的结果是整数,过渡到分得的结果是分数;(2)从除法运算入手,当商不能用整数表示时,就引入分数表示两个数相除的商。在分数概念教学中,不但要强调“平均分”,还要强调它是一个“数”。在解决“用分数表示图形的大小”时,要让学生掌握解这类题的思维过程。单位1又称为“整体量”,或“单位量”。一个物体,一个图形,一个计量单位,一些物体都可以看作一个整体,我们称它为单位“1”。单位1不仅表示一个,也可以表示由多个事物组成的整体,它体现了数学高度抽象概括的特征。单位“1”是形成学生对分数概念理解差异的原因,也是发展成不同的分数子概念的基础。这就尤其需要我们引导学生认识到从微观世界到宏观物体,不论其体积或重量大小,都可以把它看作一个整体,用单位“1”表示。在分数的意义教学中,要让学生理解单位“1”的含义,可以联系学生的生活实际,先说一说“多”和“1”,再引出单位“1”的含义。单位“1”概念在连续量和离散量上所需的知识并不相同,离散量情境比连续量情境难。学生对连续量的事物可理解为一个整体,但是对于离散量的事物很难理解为一个整体,很难将其视为单位“1”来看待。构建抽象、灵活的单位“1”概念是学生构建分数概念过程中的主线。学生在形成分数概念时(比如8个苹果),必须先形成有弹性或变通性的单位“1”概念。四、分数基本性质的教学思路为什么不叫分数的性质,而加上基本二字?因为分数有多个性质。如:(1)如果分数的分子乘或者除以一个数(零除外),分母不变,那么,就等于分数乘或除以这个数。(2)同样道理,如果分数的分母乘或除以一个数(零除外),分子不变,那么就等于分数就除以或乘以这个数。分数基本性质的教学思路可以是:(1)用分数表示阴影部分的大小开始引入;(2)根据分数与除法的关系来引入;(3)从寻找相等的数来引入。不同版本教材的编写思路也不一样,人教版教材分三个环节安排:先让学生通过折纸、涂色,感悟分数的分子、分母虽然不同,但是分数的大小是相等的;接着引导学生依次从左往右和从右往左进行观察,发现分数的分子和分母的变化规律,进而要求学生举例验证,归纳分数的基本性质;最后,教材又提出“根据分数与除法的关系以及整数除法中商不变的规律来说明分数的基本性质”的要求,沟通知识之间的联系。北师大版教材主要安排了两个环节的活动:先让学生借助图形的直观寻找相等的分数,使学生初步体验两组分数的相等关系,为观察、发现分数的基本性质提供丰富的学习材料;然后,引导学生有序观察,寻找每组分数分子、分母的变化规律,并展开充分的交流讨论,归纳概括得出分数的基本性质。通过对不同版本教材编排思路的梳理和比较,我们不难发现:两种教材都是按照“呈现现象—发现规律—归纳提炼”的线索组织教学活动的。人教版教材与北师大版教材相比,不仅注重引导学生通过折纸、涂色的操作活动寻找相等的分数,而且增加了联系相关知识即用“商不变的规律”来解释分数基本性质的环节。

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