《大学物理》第二版课后习题答案第九章

1习题精解9-1.在气垫导轨上质量为m的物体由两个轻弹簧分别固定在气垫导轨的两端，如图9-1所示，试证明物体m的左右运动为简谐振动，并求其振动周期。设弹簧的劲度系数为k1和k2.解：取物体在平衡位置为坐标原点，则物体在任意位置时受的力为12()Fkkx根据牛顿第二定律有2122()dxFkkxmamdt化简得21220kkdxxdtm令212kkm则2220dxxdt所以物体做简谐振动，其周期1222mTkk9-2如图9.2所示在电场强度为E的匀强电场中，放置一电偶极矩P=ql的电偶极子，+q和-q相距l，且l不变。若有一外界扰动使这对电荷偏过一微小角度，扰动消息后，这对电荷会以垂直与电场并通过l的中心点o的直线为轴来回摆动。试证明这种摆动是近似的简谐振动，并求其振动周期。设电荷的质量皆为m，重力忽略不计。解取逆时针的力矩方向为正方向，当电偶极子在如图9.2所示位置时，电偶极子所受力矩为sinsinsin22llMqEqEqEl电偶极子对中心O点的转动惯量为2221222llJmmml由转动定律知2221sin2dMqElJmldt化简得222sin0dqEdtml当角度很小时有sin0，若令22qEml，则上式变为2222sin0ddt所以电偶极子的微小摆动是简谐振动。而且其周期为222mlTqE9-3汽车的质量一般支承在固定与轴承的若干根弹簧上，成为一倒置的弹簧振子。汽车为开动时，上下为自由振动的频率应保持在1.3vHz附近，与人的步行频率接近，才能使乘客没有不适之感。问汽车正常载重时，每根弹簧松弛状态下压缩了多少长度？解汽车正常载重时的质量为m，振子总劲度系数为k，则振动的周期为2mTk，频率为112kvTm正常载重时弹簧的压缩量为22220.15()44mgTgxgmkv9-4一根质量为m，长为l的均匀细棒，一端悬挂在水平轴O点，如图9.3所示。开始棒在平衡位置OO，处于平衡状态。将棒拉开微小角度后放手，棒将在重力矩作用下，绕O点在竖直平面内来回摆动。此装置时最简单的物理摆。若不计棒与轴的摩擦力和空气的阻力，棒将摆动不止。试证明摆角很小的情况下，细棒的摆动为简谐振动，并求其振动周期。解设在某一时刻，细棒偏离铅直线的角位移为，并规定细棒在平衡位置向右时为正，在向左时为负，则力矩为1sin2Mmgl负号表示力矩方向与角位移方向相反，细棒对O点转动惯量为213Jml,根据转动定律有22211sin23dMmglJmldt化简得223sin02dgdtl当很小时有sin，若令232gl则上式变为222sin0ddt3所以细棒的摆动为简谐振动，其周期为2223lTg9-5一放置在水平光滑桌面上的弹簧振子，振幅2210Am，周期0.50Ts，当t=0时，（1）物体在正方向的端点；（2）物体在负方向的端点；(3)物体在平衡位置，向负方向运动;(4）物体在平衡位置，向负方向运动;(5)物体在21.010xm处向负方向运动(6)物体在21.010xm处向正方向运动。求以上各种情况的振动方程。解由题意知2122.010,0.5,4AmTssT（1）由初始条件得初想为是10,所以振动方程为2210cos4()xm（2）由初始条件得初想为是2，所以振动方程为2210cos(4)()xtm（3）由初始条件得初想为是32，所以振动方程为2210cos(4)()2xtm（4）由初始条件得初想为是432，所以振动方程为23210cos(4)()2xtm（5）因为2052110cos0.5210xA，所以55,33，取53（因为速度小于零），所以振动方程为2210cos(4)()3xtm（6）2062110cos0.5210xA，所以624,33，取643（因为速度大于零），所以振动方程为424210cos(4)()3xtm9-6一质点沿x轴做简谐振动，振幅为0.12m，周期为2s，当t=0时，质点的位置在0.06m处，且向x轴正方向运动，求；（1）质点振动的运动方程；（2）t=0.5s时，质点的位置、速度、加速度；（3）质点x=-0.06m处，且向x轴负方向运动，在回到平衡位置所需最短的时间。解（1）由题意可知：0020.12,,cosAmxAT可求得03（初速度为零），所以质点的运动方程为0.12cos3xt（2）0.50.12cos0.50.1()3txm任意时刻的速度为0.12cos3vt所以10.50.12cos0.50.19()3tvms任意时刻的加速度为20.12cos3at所以220.50.12cos0.51.03tams（3）根据题意画旋转矢量图如图9.4所示。由图可知，质点在x=-0.06m处，且向x轴负方向运动，再回到平衡位置相位的变化为325236所以50.8336ts9-7一弹簧悬挂0.01kg砝码时伸长8cm，现在这根弹簧下悬挂0.025kg的物体，使它作自由振动。请建立坐标系，分析对下述3种情况列出初始条件，求出振幅和初相位，最后建立振动方程。（1）开始时，使物体从平衡位置向下移动4cm后松手；（2）开始时，物体在平衡位置，给以向上的初速度，使其振动；5（3）把物体从平衡位置向下拉动4cm后，又给以向上121cms的初速度，同时开始计时。解（1）取物体处在平衡位置为坐标原点，向下为x轴正方向，建立如图9.5所示坐标系。系统振动的圆频率为1110.010.0870.025mgxkgsmm根据题意，初始条件为01040xcmvcms振幅220024vAxcm，初相位10振动方程为4cos7()xtm（2）根据题意，初始条件为010021xcmvcms振幅220023vAxcm，初相位22振动方程为3cos(7)()2xtm（3）根据题意，初始条件为010421xcmvcms振幅220025vAxcm，030tan0.75vx，得30.64振动方程为5cos(70.64)()xtm9-8质量为0.1kg的物体，以振幅21.010Am做简谐振动，其最大加速度为24.0ms，求：（1）振动周期；（2）通过平衡位置时的动能；（3）总能量。解（1）简谐振动的物体的最大加速度为2maxaA61max24.0201.010asA，所以周期为220.31420Ts。（2）做简谐振动的物体通过平衡位置时具有最大速度maxvA所以动能为222223max1110.11.01020210222kEmvmAJ（3）总能量为3210kEEJ总9-9弹簧振子在光滑的水平上面上做振幅为0A的简谐振动，如图9.6所示，物体的质量为M，弹簧的劲度系数为k，当物体到达平衡位置且向负方向运动时，一质量为m的小泥团以速度v从右打来，并粘附于物体之上，若以此时刻作为起始时刻，求：（1）系统振动的圆频率；（2）按图示坐标列出初始条件；（3）写出振动方程；解（1）小泥团粘附于物体之后与物体一起做简谐振动，总质量为M+m，弹簧的劲度系数为k，所以系统振动的圆频率为kMm（2）小泥团粘附于物体之上后动量守恒，所以有0MvmvMmv0MvmvvMm按图9.6所示坐标初始条件为000xMvmvvMm（3）根据初始条件，系统振动的初相位为2；假设，系统的振动振幅为A，根据能量守恒，有2220111()222MvmvkAMmvMm其中2201122MvkA故得70()kmvMAMAMmk振动方程为0cos2()kmvMAkMxtmMmMmk9-10有一个弹簧振子，振幅2210Am，周期T=1s，初相位34，（1）写出它的振动方程；（2）利用旋转矢量图，作x-t图。解（1）由题意可知，22T，所以弹簧振子的振动方程为23210cos24xtm（2）利用旋转矢量图做x-t图如图9.7所示9-11一物体做简谐振动，（1）当它的位置在振幅一半处时，试利用旋转矢量计算它的相位可能为哪几个值？做出这些旋转矢量；（2）谐振子在这些位置时，其动能。势能各占总能量的百分比是多少？解（1）根据题意做旋转矢量如图9.8所示。由图9.8可知，当它的位置在振幅的一半时，它的可能相位是2,33（2）物体做简谐振动时的总能量为212WkA，在任意位置时的时能为212pWkx，所以当它的位置在振幅的一半时的势能为22111228pWkAkA，势能占总能量的百分比为25%，动能占总能量的百分比为75%。9-12手持一块平板，平板上放以质量为0.5kg的砝码，现使平板在竖直方向上下振动，设该振动是简谐振动，频率为2Hz，振幅是0.04m,问：（1）位移最大时，砝码对平板的正压力多大？（2）以多大的振幅振动时，会使砝码脱离平板？(3)如果振动频率加快一倍则砝码随板保持一起振动的振幅上限是多大？解（1）由题意可知，124,0.04vsAm。因为物体在作简谐振动，物体在最大位移时加速度大小222max0.04160.64aA根据牛顿第二定律有1max2maxNmgmamgNma8解得18.06NN（最低位置），21.74NN(最高位置)（2）当2maxmgmamA，即时0.062Am会使砝码脱离平板。（3）频率增大一倍，把12代入2max11mgmamA得2111.55104AAm9-13有两个完全相同的弹簧振子A和B，并排地放在光滑的水平面上，测得它们的周期都是2s。现将两个物体从平衡位置向右拉开5cm，然后先释放A振子，经过0.5s后，再释放B振子，如图9.9所示，若以B振子释放的瞬间作为时间的起点，（1）分别写出两个物体的振动方程；（2）它们的相位差为多少？分别画出它们的x-t图。解（1）由题可知，两物体做简谐振动的圆频率为2T，若以B振子释放的瞬时作为时间的起点，则B物体振动的初相位是0B，振动方程应为5cos()Bxtcm由于A物体先释放0.5s时的时间，所以相位超前B物体0.522T，所以A物体振动的初相位是2A，振动方程应为5cos2Axtcm（2）它们的相位差为2作A,B两物体的振动曲线如图9.10所示。9-14一质点同时参与两个方向、同频率的简谐振动，它们的振动方程分别为126cos268cos23xtcmxtcm试用旋转矢量求出合振动方程。解作旋转矢量如图9.11所示。由平面几何关系可知221212106tan0.758AAAcmAA合振动的初相位是90.43所以合振动的振动方程为10cos20.4xtcm9-15有两个同方向、同频率的简谐振动，其合振动的振幅为0.2，合振动的相位于第一个振动的相位之差为6，若第一个振动的振幅为0.173m，求第二个振动的振幅，第一、第二两振动的相位差。解做旋转矢量如图9.1