习题8

习题88-2．一质量为M的物体在光滑水平面上作简谐振动，振幅12cm，在距平衡位置6cm处，速度为24cms-1，求：(1)周期T；(2)速度为12cms-1时的位移。[解](1)设振动方程为cmcostAx以cm12A、cm6x、1scm24v代入，得：tcos126tsin1224利用1cossin22tt则1122412622解得334s72.2232T(2)以1scm12v代入，得：ttsin316sin1212解得：43sint所以413cost故cm8.1041312cos12tx8-3．一简谐振动的振动曲线如习题8-3图所示，求振动方程。[解]设振动方程为：tAxcos根据振动曲线可画出旋转矢量图由图可得：32125223t故振动方程为）（cm32125cos10tx8-4．一质点沿x轴做简谐振动，周期为T，振幅为A，质点从x1=A/2运动到x2=A所需要的最短时间为多少？习题8-3图t/s02-510-10x(cm)-A/2-Ax解：从相位的角度分析。x2=A的相位是2kπ，x1=A/2的相位是2kπ±π/3，随着质点的运动，相位逐渐增加，最短的时间相应于从x1的相位到x2的相位最近，只能是从2kπ-π/3到相位2kπ，所需的最短时间6/23/minTTt。8-5．一弹簧振子沿x轴作振幅为A的简谐振动，在平衡位置x=0处，弹簧振子的势能为零，系统的机械能为50J，问振子处于x=A/2处时势能的瞬时值是多少？解：弹簧振子的机械能J50212kAE，J5.12415041212122kAkxEp。8-6．两个同方向的简谐振动曲线如习题8-6图所示，求合振动的振动表达式。解：合振动属于相干叠加，因A2A1，所以合振动的位移由x2决定。由图可知，t=0时x2=0且向x轴正向运动，所以x2的初始相位是2，所以合振动的表达式为)22cos()(1221tTAAxxx。8-7．两个同方向、同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm，合振动与第一个简谐振动的相位差为。若第一个简谐振动的振幅为cm，求第二个简谐振动的振幅及第一、二两简谐振动的相位差。[解]由题意可画出两简谐振动合成的矢量图，由图知cm106cos212212AAAAA易证AAA2221故第一、二两振动的相位差为28-8．沿一平面简谐波的波线上，有相距2.0m的两质点A与B，点B振动相位比点A落后π/6，已知振动周期为2.0s，求波长和波速。解：由x2，得0.226，得到m24。m/s12224Tu。8-9．已知一平面波沿x轴正向传播，距坐标原点O为x1处点P的振动方程为y=Acos(ωt+φ)，波速为u，求：（1）平面波的波函数；（2）若波沿x轴负向传播，波函数又如何？解：求出任意点x处的振动方程即为该波的波动方程。（1）设xx1（相反的情况后面的推导也成立），x越大振动相位越落后于x1点处的相位，有))(cos(1xxutAx。（2）设xx1，x越大振动相位越超前于x1点处的相位，有))(cos(1xxutAx。8-10．一平面简谐波以波速u=0.8ms-1沿x轴负向传播。已知原点的振动曲线如习题8-10图所示，求：（1）原点的运动方程；（2）波函数。6103t/sO0.50.251习题8-10y/cm习题8-6图OTA2tx-A1x1(t)x2(t)解：（1）原点处t=0时刻质点振动速度0且cos(相位)=1/2，可得原点处质点振动的初相位是-π/3。再根据t=1s时质点运动到平衡位置，得231，得到质点振动的角频率65，由此得到原点的运动方程：)cm)(365cos(5.0ty。（2）由于波沿x轴负向传播，可得波函数为：)cm()3242565cos(5.0)38.06/565cos(5.0xtxty8-11．根据如习题8-11图所示的平面简谐波在t=0时刻的波形图，试求：(1)该波的波函数；(2)点P处的振动方程。[解]由已知，得-1sm08.0u，4.0ms508.04.0uT(1)设波函数为])4.0/5/(2cos[04.0xty当t=0，x=0时，由图知0,0vx因此2(或23)则波函数为)m(]2/)4.0/5/(2cos[04.0xty(2)将P点坐标代入上式，得)m()2/34.0cos(04.0pty8-12．如习题8-12图所示，两列波长均为的相干简谐波分别通过图中的点O1和点O2，通过点O1的简谐波在M1M2平面反射后，与通过点O2简谐波在点P相遇。假定波在M1M2平面反射时有半波损失，O1和O2两点的振动方程分别为y10=Acosπt和y20=Acosπt，且O1m+mP=8λ，O2P=3λ，求：(1)两列波分别在点P引起的振动方程；(2)点P的合振动方程(假定波在传播过程中无吸收)。[解](1)11P2cosxtAy习题8-12图mO2O1M1PM2习题8-11图O0.20y(m)－0.04x(m)u=0.08m/sPy82costAtAcostAtAycos32cos2P(2)0coscos2P1PtAtAyyy合8-13．如习题8-13图所示，两相干波源S1和S2之间的距离为d=30m，S1设为坐标原点O，波沿Ox轴传播时不衰减，x1=9m和x2=12m处的两点是相邻的两个因干涉而静止的点，求两波的波长和两波源间的最小相位差。[解]由题意得m6)912(2)12()(21212krr对9xm处m1212rr所以)2,1,0(4)12()(2)12(1212kkrrk因此min12)(8-14．一汽笛发出频率为1000Hz的声波，汽笛以10的速率离开你而向着一悬崖运动，空气中的声速为340，求：(1)你听到直接从汽笛传来的声波的频率是多大；(2)你听到从悬崖反射回来的声波的频率是多大?[解](1)Hz1.49710043043100001uuu(2)Hz0.310310330330100002uuu-1ms-1ms习题8-13图OdS1S2x