《工程数学》专科12机电试题A答案

1《工程数学》试题（A卷）参考答案及评分标准一、填空题：（每题2分，共20分）1.在n阶行列式中等于零的元素的个数如果比n2－n多，则此行列式必等于.答案：0；2.行列式D的第4行元素为-1，2，0，3，对应的余子式分别为3，1，-2，3，则D=.答案：14；3.设四阶方阵A=333322221111dcbadcbadcba，则A=.答案：abacadbcbdcd；4.设A为n阶方阵，且=2,则＝.答案：21n；5.设n阶方阵A的伴随矩阵为A*，若=0,则*A=.答案：0；6.设A是s×r矩阵，则AAT是阶矩阵.答案：s；7.已知T2,5,1,31＝,T10,1,5,102＝,T4,1,1,13＝,若2321523，则.答案：1,2,3,4T；8.一个向量组含有两个或两个以上的极大无关组，则各个极大无关组所含向量个数必.答案：相同.9.在映射下，集合的像集为：答案：.10．在处展开成Taylor级数的收敛半径为答案：.二、单项选择题：（每题2分，共10分）1．四阶行列式D＝4433221100000000ababbaba的值等于（）A43214321bbbbaaaa；B43214321bbbbaaaa；C))((43432121bbaabbaa；D))((41413232bbaabbaa.3答案：D.2．设A，B为n阶方阵，满足等式AB=O,则必有（）AA=O或B=O；BA+B=O；C0A或0B；D0BA＋.答案：C.3．若A，B为n阶方阵，则正确的是（）A22BABABA；B2222BABABA；C若AB=O，且AO，则B=O；D若AB=BA，则2222BABABA.答案：D.4．1，2，…，r线性无关的充分必要条件是（）A存在全为零的数1k，2k，…，rk，使得1k1＋2k2＋…＋rkr＝0；B存在不全为零的数1k，2k，…，rk，使得1k1＋2k2＋…＋rkr≠0；C每个i都不能用其他1r个向量线性表示；D有线性无关的部分组.答案：C.5．若iiyix135)3(1则4A1x11y；B1x11yC1x11yD1x11y答案：D.三、计算下列各行列式：（共15分）1.Dn=0111110111110111110111110;（此小题7分）解：Dn=0111110111110111110111110=(n-1)0111110111110111110111111=(n-1)1000001000001000001011111=(-1)1n(n-1);（7分）52.Dn=nnnnnnn323232333322221111;（此小题8分）解：Dn=nnnnnnn323232333322221111=n！1212121333122211111nnnnnn=n!(n-1)!(n-2)!…2!1!（8分）四、（10分）设矩阵A=121112231－－,B=141224452，求4A2-B2-2BA+2AB.解：4A2-B2-2BA+2AB=(4A2-2BA)+(2AB-B2)=2(2A-B)A+(2A-B)B=(2A-B)(2A+B)=3014480110183000814=11255602444000；（10分）五、（10分）设a、b是实数，函数在复平面解析，则分别求a、b之值，并求.6解：因为)(zf是复平面上的解析函数，则在平面上满足C—R方程，即：故对成立，六、（10分）验证是z平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使.解：（1）故是调和函数。（2）利用C—R条件，先求出的两个偏导数。则7由故七、（10分）设A=54321,,,,aaaaa=21001311100010021311,求矩阵A的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示.解：对A施行初等行变换变为行阶梯形矩阵A=54321,,,,aaaaa=21001311100010021311～00310001003111021311～31000001003111021311，（3分）8知r（A）=4，故列向量组的极大无关组含4个向量.而四个非零行的非零首元在1，2，3，4四列，故a1,a2,a3,a4为列向量组的一个极大无关组.这是因为4321,,,aaaa～1000010011101311，知r4321,,,aaaa=4，故a1,a2,a3,a4线性无关.（3分）为把a5用a1,a2,a3,a4线性表示，把A再变成行最简形矩阵A～31000001000001010001，由此可知a5=-a1+3a4.（4分）八、（15分）设有线性方程组,123,2)3(,122,043214324324321axxxxbxxaxxxxxxxx问a、b为何值时，此方程组（1）有惟一解？（2）无解？（3）有无限多个解？并在有无限多个解时求其通解.解：对增广矩阵进行初等行变换，9(A,B)=112323101221001111aba～1321023101221001111aba～01000101001221001111aba，（4分）（1）当a≠1时，r（A）＝r（A，B）=4,方程组有惟一解；（2）当a＝1且b≠－1时，r（A）＝2，r（A，B）=3，方程组无解；（3）当a＝1且b＝－1时，r（A）＝r（A，B）=2，方程组有无限多个解.（6分）这时，(A,B)～00000000001221001111～00000000001221011101－－－，由此便得通解24132122111221cxcxccxccx用对应齐次线性方程组的基础解系表示的通解为4321xxxxx＝0011＋01211c＋10212c，（1c，2c∈R）.（5分）