《常微分方程》答案习题3.3

习题3.31．Proof若（1）成立则0及00xx，0(,)x，使当000|||(,,)|yyxxy时，初值问题0000(,)()(,,)dyfxydxyxyyxxy的解00(,,)yyxxy满足对一切0xx有00|(,,)|yxxy,由解关于初值的对称性，（3，1）的两个解00(,,)yyxxy及00(,,)yyxxy都过点00(,)xy，由解的存在唯一性0000(,,)(,,)yxxyyxxy，当0xx时故000|(,,)|,yxxyxx若（2）成立，取定00xx，则0，10(,)()x，使当001|(,,)|yxxy时,对一切0xx有00|(,,)|yxxy因初值问题0(,)()0dyfxydxyx的解为0y，由解对初值的连续依赖性，对以上0，000(,,)(,)xxx，使当0||y时对一切00(,]xxx有001|(,,)|min{,}yxxy而当0xx时，因0011|(,,)|min{,}yxxy故00|(,,)|yxxy这样证明了对一切0xx有00|(,,)|yxxy2．Proof：因(,)fxy及fy都在G内连续，从而(,)fxy在G内关于y满足局部Lipschitz条件，因此解00(,,)yxxy在它的存在范围内关于00,,xxy是连续的。设由初值00(,)xy和000(,)xyy0(||,y足够小）所确定的方程解分别为00(,,)yxxy，000(,,)yxxyy即00(,)xxyfxdx，000(,)xxyyfxdx于是00((,)(,))xxyfxfxdx00(,())()01xxfxydxy因fy及、连续，因此1(,())(,)fxfxryy这里1r具有性质：当00y时，；10r且当00y时10r，因此对00y有0100(,)1()xxfxrdxyyy即0zy是初值问题100(,)[]()1dzfxrzdyyzxz的解，在这里00y看成参数0显然，当00y时，上述初值问题仍然有解。根据解对初值和参数的连续性定理，知0y是000,,,xxzy的连续函数，从而存在0000limyyy而0fy是初值问题0(,)()1dzfxzdxyzx的解，不难求解0expfy0(,)xxfxdxy它显然是00,,xxy的连续函数。3．解：这里(,)()()fxypxyx满足解对初值的可微性定理条件故：000(,)expfxyx0(,)xxfxdxy0000(()())exp()xxpxyQxpxdx0y00(,)expexp()xxxxfxdxpxdxy0000(,(,,))()(,,)()fxxxypxxxyQxx()()dypxyQxdx满足00()yxy的解为000()()0(())xxxxpxdxpxdxxxyeQxedxy故00exp()xxpxdxy000000()exp()(()(exp(())))xxxxxxpxpxdxQxpxdxdxyx0000exp()(()()()xxxxpxdxQxpxQx0[exp(())])xxpxdxdx0000(()())exp()xxpxyQxpxdx0000()exp()(()(exp(())))xxxxxxpxpxdxQxpxdxdxyx00exp()(()exp(()))xxxxpxdxQxpxdx00()(,,)()pxxxyQx4．解：这是(,)sin()yfxyx在（1，0）某领域内满足解对初值可微性定理条件，由公式000(1,0)00(1,0)0(,,)(,)(,)exp()0xxyxxyfxyfxydxxy0000(1,0)(1,0)(1,0)0(,,)(,)1exp()expcosxxxxyxxyfxyydxdxxyxx11(,1,0)expcosxyxdxxx易见0y是原方程满足初始条件(1)0y的解(,1,0)(,1,0)0coscos01yxyxx故0001100(,,)1exp||xxyyxxydxxyx