《平行截割定理与相似三角形》教案

个性化教案1/7平行截割定理与相似三角形适用学科数学适用年级高二适用区域新课标课时时长（分钟）60知识点相似三角形的判定及有关性质考情分析在高考中主要考查相似三角形的判定及有关性质、直角三角形射影定理的应用，其中相似三角形的判定及性质常与圆的知识综合在一起考查。教学重点平行截割定理与相似三角形教学难点平行截割定理与相似三角形教学过程一、复习预习教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容二、知识讲解考点/易错点1平行线等分线段定理定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．考点/易错点2平行线分线段成比例定理定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．考点/易错点3相似三角形的判定定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)．预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．个性化教案2/7判定定理1对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．判定定理2对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理3对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．考点/易错点4两个直角三角形相似的判定定理①如果两个直角三角形的一个锐角对应相等，那么它们相似．②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．③如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)相似三角形的性质性质定理①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方；④相似三角形外接圆(或内切圆)的直径比、周长比等于相似比，外接圆(或内切圆)的面积比等于相似比的平方．考点/易错点5直角三角形的射影定理直角三角形的斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；两条直角边分别是他们在斜边上射影与斜边的比例中项。三、例题精析个性化教案3/7【例题1】【题干】在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝5，点E、F分别在AB、CD上，且EF∥AD，若AEEB＝34，则EF的长为________．【答案】237【解析】如图所示，延长BA、CD交于点P，∵AD∥BC，∴PAPB＝ADBC＝25，∴PAAB＝23，又∵AEEB＝34，∴AEAB＝37，∴PAAE＝149，∴PAPE＝1423.∵AD∥EF，∴ADEF＝PAPE＝1423，又AD＝2，∴EF＝237.【例题2】【题干】已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，点D是垂足．求证：BC2＝2CD·AC.【解析】过点A作AE⊥BC，垂足为E，∴CE＝BE＝12BC，由BD⊥AC，AE⊥BC.又∴∠C＝∠C，∴△AEC∽△BDC.∴ECDC＝ACBC，∴12BCCD＝ACBC，即BC2＝2CD·AC.【例题3】个性化教案4/7【题干】已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD＞BD)，若CD＝6，则AD＝________.【答案】9【解析】如图，连接AC，CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°设AD＝x，∵CD⊥AB于D，∴由射影定理得CD2＝AD·DB，即62＝x(13－x)，∴x2－13x＋36＝0，解得x1＝4，x2＝9.∵AD＞BD，∴AD＝9.四、课堂运用【基础】1．如图所示，已知a∥b∥c，直线m、n分别与a、b、c交于点A，B，C和A′，B′，C′，如果AB＝BC＝1，A′B′＝32，则B′C′＝________.解析由平行线等分线段定理可直接得到答案．答案322．如图所示，BD、CE是△ABC的高，BD、CE交于F，写出图中所有与△ACE相似的三角形________．解析由Rt△ACE与Rt△FCD和Rt△ABD各共一个锐角，因而它们均相似，个性化教案5/7又易知∠BFE＝∠A，故Rt△ACE∽Rt△FBE.答案△FCD、△FBE、△ABD【巩固】3．如图，在△ABC中，M、N分别是AB、BC的中点，AN、CM交于点O，那么△MON与△AOC面积的比是________．解析∵M、N分别是AB、BC中点，故MN綉12AC，∴△MON∽△COA，∴S△MONS△AOC＝MN2AC2＝14.[来源:学科网ZXXK]答案1∶44．如图所示，已知DE∥BC，BF∶EF＝3∶2，则AC∶AE＝______，AD∶DB＝________.解析∵DE∥BC，∴AEAC＝DEBC＝EFBF.∵BF∶EF＝3∶2，∴AEAC＝EFBF＝23.∴AC∶AE＝3∶2.同理DE∥BC，得AB∶AD＝3∶2，即ABAD＝32.∴ADAB＝23，即ADAB－AD＝23－2＝2.[来源:学.科.网][来源:学#科#网Z#X#X#K]即ADBD＝2.∴AD∶BD＝2∶1.答案3∶22∶1【拔高】5．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝a2，点E、F分别为线段AB、AD的中点，则EF＝________.个性化教案6/7解析连接DE和BD，依题知，EB∥DC，EB＝DC＝a2，∴EBCD为平行四边形，∵CB⊥AB，∴DE⊥AB，又E是AB的中点，故AD＝DB＝a，∵E，F分别是AD、AB的中点，∴EF＝12DB＝12a.答案a26.如图，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且不与ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程2140xxmn的两个根．（I）证明：C，B，D，E四点共圆；（II）若90A，且4,6,mn求C，B，D，E所在圆的半径．解析：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB=mn=AE×AC，即ABAEACAD.又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB因此∠ADE=∠ACB所以C，B，D，E四点共圆。（Ⅱ）m=4，n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12.故AD=2，AB=12.取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于∠A=900，故GH∥AB，HF∥AC.HF=AG=5，DF=21(12-2)=5.[来源:学_科_网Z_X_X_K]个性化教案7/7故C，B，D，E四点所在圆的半径为52