《平行线等分线段定理》教学设计

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ABCDNMBCDNPEGF《平行线等分线段定理》教学设计执教李裕达【教学内容】人教版初中《几何》第二册§4.9平行线等分线段定理(课本P176~P178)【教学目标】1.识记并掌握平行线等分线段定理及其推论,认识它的变式图形;2.能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段,能运用推论进行简单的证明或计算;3.培养学生化归的思想、运动联系的观点。【教学重点】平行线等分线段定理及推论的应用【教学难点】平行线等分线段定理的证明【教学方法】引导·探究·发现法【教具准备】三角板、矩形纸片、印有等距离平行线的作业纸、电脑、实物投影仪、自制课件等【教学设计】一、实际问题,导入新课1.问题:不用其它工具,你能用一张矩形纸片折叠出一个等边三角形吗?2.折法:(教师演示,学生动手)·先将矩形(ABCD)纸对折,得折痕MN(如图1);·再把B点叠在折痕MN上,得到Rt△BEP(如图2);·最后沿EP折叠,便可得到(如图1)等边△BEF(如图2)。(如图2)3.导入:为什么这样折出的三角形是等边三角形呢?通过今天这节课的学习,我们将从理论上解决这一问题。二、复习引导,发现定理1.复习提问(1)你能用尺规作图将一条线段2等分吗?4等分呢?你还会将一条线段几等分?(2)你能用尺规作图将一条线段3等分吗?能否将一条线段任意等分呢?师:为了回答第2个问题,让我们先来做一个实验。2.操作实验请同学们用老师发下的、印有等距离平行线的作业纸和刻度尺做以下实验:(1)画一条与这组平行线垂直的直线l1,则直线l1被这组平行线截得的线段相等吗?为什么?(2)任意画一条与这组平行线相交的直线l2,量一量直线l2被这组平行线截得的线段是否相等。3.引导猜想引导:在上面的问题中,已知条件是什么?得到的结论是什么?你能用文字语言表述吗?猜想:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。4.验证猜想教师用《几何画板》验证同学们刚才做实验得出的结论(猜想)。三、归纳探究,证明定理1.归纳:如果以3条平行线为例证明上面的猜想,你能根据图1写出“已知”和“求证”吗?已知:直线a//b//c,AB=BC(如图1)求证:A'B'=B'C'。2.探究:(1)不添加辅助线能直接证明吗?(2)四边形ACC'A'是什么四边形?(3)在梯形中常作什么样的辅助线?3.证明:根据学生提供的证明方法,完成证明。证法一:(略)参见课本P176的证法。证法二:过A'、B'点作AC的平行线,分别交直线b、c于D、E(如图2)。(以下证明略)〖注1〗结论与直线A'C'的位置无关;〖注2〗对于3条以上的平行线组,可用同样的方法证明(说明证法二更具一般性)。4.定理:推理形式:∵a//b//c,AB=BC,∴A'B'=B'C'。四、图形变式,引出推论1.隐线变式,得推论1在图1中,隐藏直线a、b、c,得梯形ACC'A'(如图3)。这时定理的条件、结论各是什么?条件:在梯形ACC'A'中,AB=BC,AA'//BB'//CC'。结论:A'B'=B'C'。推论1:经过梯形一腰的中点,与底边平行的直线必平分另一腰。(图3)(图4)(图5)(图6)2.运动变式,得推论2既然定理的结论与被截直线的位置无关,将直线A'C'平行向左移动,得到变式图形4。这时定理在△ACC'中的条件、结论各是什么?条件:在△ACC'中,BB'//CC',AB=BC。结论:A'B'=B'C'。推论2:经过三角形一边的中点,与另一边平行的直线必平分第三边。3.变换图形,深化理解如果将直线A'C'继续向左平行移动(如图5、6),这时定理的条件、结论有什么变化?cbaCBAA'B'C'(图1)cbaCBAA'B'C'(图2)DE平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。cbaBC'CAB'A'cbaBC'CAB'A'cbaBC'CAB'A'BC'CAB'A'五、运用新知,解决问题1.应用定理,等分线段(1)已知线段AB,你能它三等分吗?依据是什么?(图7)已知:线段AB(如图7)。求作:线段AB的三等分点。作法:(略。见图8)(师生同步完成作图过程)〖注〗作图题虽不要求写作法,但最后的结论一定要写出。(2)你还能将已知线段几等分呢?能任意等分吗?(图8)2.应用推论,分解图形例1.已知:如图9,在□ABCD中,M、N分别是AB、CD的中点,CM、AM分别交BD于E、F。求证:BE=EF=FD。分析:(1)根据条件,你能得到哪些平行线?(图9)(2)在图9中,有哪些与推论有关的基本图形?证明:(略。过程由学生自己完成)例2.已知:如图10,□ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点A、B、C、D、O分别作直线a的垂线,垂足分别为A'、B'、C'、D'、O'。求证:A'D'=B'C'。分析:(1)你能在图10中找到几个与推论有关的基本图形?(图10)(2)在直线a上,有哪些线段是相等的?根据是什么?证明:(略。过程由学生自己完成)思考:若去掉条件“AC、BD交于点O”,结论是否成立?3.你能运用今天所学知识,解决本课开始提出的“折等边三角形”问题吗?六、课堂小结,提炼升华1.理解一个定理平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。2.掌握两个推论推论1:经过梯形一腰的中点,与底边平行的直线必平分另一腰。推论2:经过三角形一边的中点,与另一边平行的直线必平分第三边。3.了解三种思想化归思想——定理证明是通过作辅助线,将问题转化为平行四边形和三角形全等的知识解决;两个例题也是将问题转化为两种基本图形来解决。运动思想——两个推论是通过定理图形运动到特殊位置得到的,因此推论是定理的特殊表现形式。辩证思想——定理是由特殊(三条平行线)推广到一般;应用定理则是将一般情况运用到特殊(具体)问题之中。ABCABDEFHGaABCDOA'D'O'B'C'ABCDNMFE七、达标检测,回授效果1.已知:如图11,在梯形ABCD中,AB//CD,E是CD的中点,EF//BC交AB于F,FG//BD交AD于G。求证:AG=DG。2.如图12,在△ABC中,D是AB的中点,DE//BC交AC于E,(图11)EF//AB交BC于F。(1)求证:BF=CF;(2)图中与DE相等的线段有;(3)图中与EF相等的线段有;(4)若连结DF,则DF与AC的位置关系是,数量关系是。(图12)八、课后作业,巩固新知1.求证:直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离相等。2.已知:如图13,AD是△ABC的中线,E是AD的中点,AE的延长线交AC于F。求证:FC=2AF。(图13)附:板书设计§4.9平行线等分线段定理定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。∵直线a//b//c,AB=BC∴A'B'=B'C'。推论1:经过梯形一腰的中点,与底边平行的直线必平分另一腰。在梯形ACC'A'中,∵AB=BC,AA'//BB'//CC'。∴A'B'=B'C'。推论2:经过三角形一边的中点,与另一边平行的直线必平分第三边。在△ACC'中,∵AB=BC,BB'//CC'.∴A'B'=B'C'。ABCDGFEABCDFEcbaCBAA'B'C'BC'CAB'BC'CAB'A'ABCDEF一、动手操作二、例题研究例1.已知:线段AB(如图)。求作:线段AB的三等分点。例2.已知:如图,在□ABCD中,M、N分别是AB、CD的中点,CM、AM分别交BD于E、F。求证:BE=EF=FD。例3.已知:如图,□ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点A、B、C、D、O分别作直线a的垂线,垂足分别为A'、B'、C'、D'、O'。求证:A'D'=B'C'。ABABCDNMFEaABCDOA'D'O'B'C'三、达标检测1.已知:如图,在梯形ABCD中,AB//CD,E是CD的中点,EF//BC交AB于F,FG//BD交AD于G。求证:AG=DG。2.如图,在△ABC中,D是AB的中点,DE//BC交AC于E,EF//AB交BC于F。(1)求证:BF=CF;(2)图中与DE相等的线段有;(3)图中与EF相等的线段有;(4)连结DF,则DF与AC的位置关系是,数量关系是。四、课后作业1.求证:直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离相等。2.已知:如图,AD是△ABC的中线,E是AD的中点,AE的延长线交AC于F。求证:FC=2AF。ABCDGFEABCDFEABCDEF

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