《平面向量的分解定理》教案

8.3平面向量的分解定理翁旭宇一、教学目标1．理解和掌握平面向量的分解定理；2．掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向量来表示；掌握基的概念，并能够用基表示平面内的向量；3．根据学生已有的物理知识经验，在熟悉的问题情景中，体会研究向量分解的必要性。4．经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想。二、教学重点及难点：平面向量分解定理的发现和形成过程；分解唯一性的说明。三、教学过程设计（一）、设置情景，引入课题（1）观察前面我们学过向量的加法，知道两个向量可以合成一个向量，反过来，一个向量是否可以分解成两个向量呢？下面让我们来看一个实例：实例：一盏电灯，可以由电线CO吊在天花板上，也可以由电线OA和绳BO拉住.CO所受的力F与电灯重力平衡，拉力F可以分解为AO与BO所受的拉力F1和F2.F2F1BCOAF思考：从这个实例我们看到了什么？答：一个向量可以分成两个不同方向的向量.（2）复习正交分解，并抽象为数学模型ijOPOPxiyje2ae1a=入1e1+入2e2.ae2e1MNOACB（二）、探索探究，主动建构概括讨论，提出新问题：如果向量21,ee是同一平面内的两个不平行的向量，a是该平面内的一个非零向量，是否能用向量21,ee表示向量a？数学实验1实验设计：(1)实验目的：通过实验让学生探究：给定平面内的两个不平行向量21,ee，对于给定的非零向量a是否能分解成21,ee方向上的两个向量，且分解是否是唯一的？(2)实验步骤：a.以四位同学为一组，给每一位同学一个图，上面有两个不平行向量21,ee和a；b.每个同学先独立作图；c.小组对照，比较所分解的两向量的长度和方向是否相同.并得出结论.(3)实验报告：(由学生发言)可以分解，且分解的长度和方向唯一的.师：既然可以分解并且是唯一的，能不能用数学式子把a和21,ee的关系表示出来？生：21,ee是不平行向量，a是平面内给定的向量，在平面内任取一点O（1）作1,OAe2,OBeOCa；（2）过C作平行于直线OB的平行线与直线OA相交于点M；（3）过C作平行于直线OA的平行线与直线OB相交于点N；（4）四边形ONCM为平行四边形，由向量平行的充要条件可知存在实数21,，使得11OMe，22ONe，则2211eeONOMaOC.对于给定的向量可以唯一分解成给定的两个不平行向量，那么对于任意的向量a是否也可以得到同样的结论呢？下面让我们来做一个实验.数学实验2实验设计：(1)实验目的：通过几何画板向量分解动画，让学生体会对于任意向量都可以分解成给定的两个不平行向量，且分解是唯一的.(2)实验步骤：a.利用几何画板画出两个不平行向量21,ee，画出一个任意向量(该向量可以任意拖动终点来改变)；b.学生从拖动中体会其向量的任意性.（一些特殊位置0，1ae，2ae）(3)实验报告：3．探究结果baMDCBA几何角度：平面内的任一向量a都可以表示为给定的两个不平行向量21,ee的线性组合，即2211eea，且分解是唯一的.代数角度：说明唯一性：说明：（1）当0a时，21000ee（2）当0a时，假设1122aee，则有1122ee=1122ee111222()()0ee.由于21,ee不平行，故1122()0,()0，即1122,.4．概括得出定理：平面向量分解定理：如果21,ee是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数21,，使2211eea.我们把不平行的向量21,ee叫做这一平面内所有向量的一组基.注意：（1）基底不共线；（2）将任一向量a在给出基底1e、2e的条件下进行分解；（3）基底给定时，分解形式唯一，21,是被a，1e，2e唯一确定的数量（通过实验的制作，学生的动手作图能力得到提高，通过学生对实验结果的讨论，学生的抽象概括能力，语言表达能力得到训练.）（三）．例题分析例1（教材P66．例2）如图：平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且bADaAB,，分别用ba,表示MCMBMA,,和MD.解：在平行四边形ABCD中，,baADABAC,baADABDB,2121)(2121babaACMA,2121)(2121babaDBMB)(2121baACMC，baDBMBMD212121注：（1）把ba,作为一组基，用向量ba,表示平面内的任何一个向量（2）平行四边形法则简化为三角形法则。练习：学生完成教材后面练习P67（2）思考：由例1和练习（2）平行四边形ABCD中还有哪些线段可以作为一组基？哪些线段不可以作为一组基？为什么？思考题（教材P67．例3）已知OBOA,是不平行的两个向量，k是实数，且)(RkABkAP，用OBOA,表示OP.解：,ABkAP.)1()(OBkOAkOAkOBkOAOAOBkOAABkOAAPOAOP（四）、课堂小结：（1）平面向量的分解定理.对分解定理的理解：基底21,ee为两个不平行向量，向量a的任意性，实数对21,的存在性和唯一性；（2）从基的角度认识几何图形。（五）、作业布置《练习册》P37A组3，4，5B组2，3