《弹性力学》试题(重学考试试卷--参考答案)

第页，共5页1一、单项选择题（按题意将正确答案的编号填在括弧中，每小题2分，共10分）1、弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，还必须结合（C）求解这些微分方程，以求得具体问题的应力、应变、位移。A．相容方程B．近似方法C．边界条件D．附加假定2、根据圣维南原理，作用在物体一小部分边界上的力系可以用（B）的力系代替，则仅在近处应力分布有改变，而在远处所受的影响可以不计。A．几何上等效B．静力上等效C．平衡D．任意3、弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程不完全相同，其比较关系为（B）。A．平衡方程、几何方程、物理方程完全相同B．平衡方程、几何方程相同，物理方程不同C．平衡方程、物理方程相同，几何方程不同D．平衡方程相同，物理方程、几何方程不同4、不计体力，在极坐标中按应力求解平面问题时，应力函数必须满足（A）①区域内的相容方程；②边界上的应力边界条件；③满足变分方程；④如果为多连体，考虑多连体中的位移单值条件。A.①②④B.②③④C.①②③D.①②③④5、如下图所示三角形薄板，按三结点三角形单元划分后，对于与局部编码ijm对应的整体编码，以下叙述正确的是（D）。①I单元的整体编码为162②II单元的整体编码为426③II单元的整体编码为246④III单元的整体编码为243⑤IV单元的整体编码为564A.①③B.②④C.①④D.③⑤二、简答题（四小题，共35分）1、材料各向同性的含义是什么？“各向同性”在弹性力学物理方程中的表现是什么？（5分）答：材料的各向同性假定物体的物理性质在各个方向上均相同。因此，物体的弹性常数不随方向而变化。在弹性力学物理方程中，由于材料的各向同性，三个弹性常数，包括弹性模量E，切变模量G和泊松系数（泊松比）μ都不随方向而改变（在各个方向上相同）。2、位移法求解的条件是什么？怎样判断一组位移分量是否为某一问题的真实位移？（5分）答：按位移法求解时，u，v必须满足求解域内的平衡微分方程，位移边界条件和应力边界条件。平衡微分方程、位移边界条件和（用位移表示的）应力边界条件既是求解的条件，也是校核u，v是否正确的条件。3、试述弹性力学研究方法的特点，并比较材料力学、结构力学与弹性力学在研究内容、方法等方面的异同。（12分）答：弹力研究方法：在区域V内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，建立平衡微分方程、几何方程和物理方程；在边界s上考虑受力或约束条件，并在边界条件下求解上述方程，得出较精确的解答。在研究内容方面：材料力学研究杆件（如梁、柱和轴）的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等问题；结构力学在材料力学基础上研究463521IIIIIIIV第页，共5页2杆系结构（如桁架、刚架等）；弹性力学研究各种形状的弹性体，如杆件、平面体、空间体、板壳、薄壁结构等问题。在研究方法方面：理力考虑整体的平衡（只决定整体的V运动状态）；材力考虑有限体ΔV的平衡，结果是近似的；弹力考虑微分体dV的平，结果比较精确。4、常体力情况下，用应力函数表示的相容方程形式为024422444yΦyxΦxΦ，请问：相容方程的作用是什么？两种解法中，哪一种解法不需要将相容方程作为基本方程？为什么？（13分）答：（1）连续体的形变分量（和应力分量）不是相互独立的，它们之间必须满足相容方程，才能保证对应的位移分量存在，相容方程也因此成为判断弹性力学问题解答正确与否的依据之一。（2）对于按位移求解（位移法）和按应力求解（应力法）两种方法，对弹性力学问题进行求解时位移法求解不需要将相容方程作为基本方程。（3）（定义）按位移求解（位移法）是以位移分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去应力分量和形变分量，导出只含位移分量的方程和相应的边界条件，并由此解出应变分量，进而再求出形变分量和应力分量。三、计算题（四小题，共55分）1、稳定温度场中的温度场函数T(x，y)应满足022222yTxTT，设图中的矩形域为6m×4m，取网格间距为h=2m，布置网格如图，各边界点的已知温度值如图所示，试求温度稳定情况下内结点a、b的稳定温度值。（8分）（注：若网格中平行于x轴方向上等间距节点顺序为3、0、1，则结点0处、平行于x轴方向上的一阶差分公式为)(21)(310ffhxf）解：由一阶差分公式，可推导出0处二阶差分公式：)2(1)(0312022fffhxf)2(1)(0422022fffhyf结合本题中条件和差分法原理，将温度函数T代之于公式中的f，并根据二阶差分公式可对a、b处的温度列出方程如下：。0)222030(4,0)223532(4abbaTTTT解该方程组可得：13.25,53.28baTT2、考虑上端固定，下端自由的一维杆件，见题七图，只受重力作用，gffyx,0（ρ为杆件密度，g为重力加速度），并设μ=0。试用位移法求解杆件竖向位移及应力。（14分）（平面问题的平衡微分方程：0xyxxfyxσ，0yxyyfxyσ；用位移分量表示的应力分量表达式：)(12yvμxuμEσx，)(12xuμyvμEσy，)()1(2yuxvμEτxy）解：据题意，设位移u=0，v=v(y)，按位移进行求解。根据将用位移分量表示的应力分量代入平面问题的平衡微分方程，得到按位移求解平面应力问题的基本微分方程如下：,0)2121(1222222xfyxvyuxuE(a)gloyx题七图ρ22a2432b22354020173025题六图第页，共5页3.0)2121(1222222yfyxuxvyvE(b)将相关量代入式(a)、(b)，可见(a)式（第一式）自然满足，而(b)式第二式成为Egyv22可由此解出.22BAyyEgv(c)本题中，上下边的边界条件分别为位移边界条件和应力边界条件，且0)(,0)(0lyyyv将(c)代入，可得lEgAB，0反代回(c)，可求得位移：)2(22ylyEgv)(ylgσy3、某结构的有限元计算网格如题八图（a）所示。每个单元的直角边长均为l，单位厚度。网格中两种类型单元按如题八图（b）所示的局部编号，它们单元劲度矩阵均为75.025.05.025.025.0025.075.0025.025.05.05.005.000025.025.0025.025.0025.025.0025.025.0005.00005.0k试求：（1）结点2的等效荷载列阵2LF。（5分）（2）整体劲度矩阵中的子矩阵44K和K15。（10分）857946321mmjiji（a）（b）题八图解：因结构关于沿编码2、5、8的轴线对称，故可取左半部分进行分析，见下图所示。根据静力等效，结构在结点2处受向下的集中荷载F2＝－ql/2×2＝－ql，水平方向无荷载作用，因此，结点2处的等效荷载列阵可表示为：0022222qlqlFFFFFTyLxLyLxLL或或按图中单元划分，结点标号的局部编码i，j，m与整体编码的对应见下表：单元号IIIIIIIV局部编码整体编码i1548j5184m2457第页，共5页45.125.025.05.15.00025.025.0005.075.025.025.075.044jjIViiIIImmIIkkkK025.025.000025.00025.00015jiIIijIkkK4、设有函数hyhyqyhyhyqx332332251344，（1）判断该函数可否作为应力函数？（3分）（2）选择该函数为应力函数时，考察其在图中所示的矩形板和坐标系（见题九图）中能解决什么问题（lh）。（15分）解：（1）将φ代入相容方程024422444yΦyxΦxΦ，显然满足。因此，该函数可以作为应力函数。（2）应力分量的表达式：22323322333222461342,3346yhhqxyxhyhyqxhqyhqyhyqxyxyyx考察边界条件：在主要边界y＝±h/2上，应精确满足应力边界条件qhyhyqhyhyy23321342013422332hyhyyhyhyq04622232hyhyxyyhhqx在次要边界x＝0上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件：)(03342/2/3302/2/奇函数dyhqyhqydyhhxhhx03342/2/3302/2/ydyhqyhqyydyhhxhhx002/2/dyxhhxy在次要边界x＝l上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件：)(033462/2/33322/2/奇函数dyhqyhqyhyqldyhhlxhhx233462/2/33322/2/qlydyhqyhqyhyqlydyhhlxhhxqlyhhqldyhhlxhhxy2/2/2232/2/46对于如图所示的矩形板和坐标系，结合边界上面力与应力的关系，当板内发生上述应力时，由主边界和次边界上的应力边界条件可知，左边、下边无面力；而上边界上受有向下的均布压力；右边界上有按线性变化的水平面力合成为一力偶和铅直面力。所以能够解决右端为固定端约束的悬臂梁在上边界受均布荷载q的问题。Oxh/2h/2y题九图857421qql/2ql/2IVIIIIII