《微分几何》模拟试题

09级数学与应用数学师范本科《微分几何》2011-2012学年第2期期末模拟试题A卷本试卷需：答题纸页草稿纸页试卷审核时间：年月日第1页共2页课程考核试卷考试时间：120分钟考试方式：闭卷（提示：答案必须依试题顺序做在答题册上，并标明大、小题号，否则不予计分）一、选择题（每小题2分共10分，最后4小题任选2题）1、曲线r=r(t)的切矢量有固定方向，则()：(A)rr'=0，(B)r'r''=0，(C)r∙r'=0，(D)r'∙r''=0，(E)都不是；2、曲线r=r(t)的切矢量有固定长度，则()：(A)rr'=0，(B)r'r''=0，(C)r∙r'=0，(D)r'∙r''=0，(E)都不是；3、可展的曲面():(A)Gauss曲率K=0，(B)中曲率H=0，(C)是平面，(D)是柱面，(E)都不是；4、沿渐进线():(A)法曲率kn=0，(B)测地曲率kg=0，(C)曲率k=0，(D)都不是；5、(1/|r'|)'=():(A)1/|r'|2，(B)−1/|r'|2，(C)−r'·r''/|r'|3，(D)r'·r''/|r'|3，(E)都不是。6、设)t(r是单位向量，则它关于t的旋转速度为():(A))t(r(B))t('r(C)|)t(r|(D)|)t('r|7、空间曲面v线的切方向为():(A)0:1dv:du(B)1:0dv:du(C)1:1dv:du(D)1:2dv:du二、填空题（每小题2分共20分）1、已知r=(cosx,sinx,x),0≤x≤1,其弧长总长=；2、Γ：r=(acost,asint,t)的单位切向量是；3、Γ：r=(cost,sint,t)的主法向量β=；4、曲面上切向du:dv是渐进方向的条件,用第二基本量表示为；5、r=(u+v,u−v,uv)的第一基本量G=；6、曲面上满足LN-M20的点称为点；7、Γ：r=(t,2t,3t)的曲率是；8、Γ：r=(cosθ,sinθ,1)的挠率是；9、曲面的Gauss曲率可以只用第基本量计算；10、球面上的测地线是球面上的。三、判断题（每小题2分共20分）()1、平面曲线的特征是其曲率=0；()2、空间曲面的形状由Gauss曲率与中曲率唯一确定；()3、可展曲面与平面等距对应；()4、曲面的第二基本形式是一个半正定的二次型线；()5、球面上测地三角形内角和π；()6、空间曲线由曲率k0唯一确定；()7、挠率=0的曲线是直线；()8、坐标曲线正交当且仅当则F=0，其中F为第一基本量；()9、可展曲面是锥面、柱面或切线曲面；()10、直纹面都是可展曲面。装订线系（院）：专业：姓名：学号：装订线系（院）：专业：姓名：学号：涪陵师范学院课程考核试卷中文系（院、部、中心）出题教师：杨天标教研室主任：（签字）系（院、部、中心）主任：（签字）第2页共2页四、计算题（每小题6分共30分，最后2小题任选1题）1、求曲线Γ：x=cost,y=sint,z=t的法平面方程；2、求曲线Γ：r=(acost,asint,et)过(a,0,1)的切线方程；3、求曲面r=(ucosv,usinv,v)的过(0,1,π/2)的切平面方程；4、已知曲面的第一基本形式为I=v(du2+dv2),v0，求u-线的坐标曲线的测地曲率；（提示：利用公式kgu=−(lnE)v/2G）5、求曲面族Γα：(y−α)−(x−α)2/2=0的包络面方程。6、在第一基本形式为I=du2+sinh2udv2的曲面上，求方程为u=v的曲线的弧长。7、在第一基本形式为I=du2+(u2+a2)dv2的曲面上，求由三条曲线u=v,v=0,u=1相交所成的三角形面积。五、证明题（每小题5分共20分）1、证明曲率k=0的曲线是直线.2、证明曲面：r=(φ(t)cosθ,φ(t)sinθ,φ(t))的参数网是正交网.3、证明曲线Γ：r=(1+3t+2t2,2−2t+5t2,1−t2)为平面曲线.4、证明曲面：r=(v+cosu,v+sinu,au)可展.