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《数学分析》教案3授课章节：第一章实数集与函数---§１．实数教学目的：使学生掌握实数的基本性质．教学重点：（１）理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；（２）牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用．教学方法：讲授．（部分内容自学）教学程序：引言上节课中，我们与大家共同探讨了《分析》这门旅程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．[问题]为什么从“实数”开始．答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．一实数及其性质１、实数(,qpqp正分数,有理数为整数且q0)或有限小数和无限小数.负分数,无理数:用无限不循环小数表示.|Rxx为实数全体实数的集合．[问题]有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定：对于正有限小数01,nxaaa其中009,1,2,,,0,inainaa为非负整数，记0119999nxaaa；对于正整数0,xa则记0(1).9999xa；对于负有限小数（包括负整数）y，则先将y表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．０＝0.0000例：2.0012.000999932.99992.0012.00999932.9999利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．但新的问题又出现了：在此规定下，如何比较实数的大小？２．两实数大小的比较1）定义１给定两个非负实数01nxaaa，01nybbb.其中00,ab为非负整数，,kkab(1,2,)k为整数，09,09kkab．若有,1,2,kkabk，则称x与y相等，记为xy；《数学分析》教案4若00ab或存在非负整数l，使得,1,2,,kkabkl，而11llab，则称x大于y或y小于x，分别记为xy或yx．对于负实数x、y，若按上述规定分别有xy或xy，则分别称为xy与xy（或yx）．规定：任何非负实数大于任何负实数．2）实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．定义２（不足近似与过剩近似）：01nxaaa为非负实数，称有理数01nxaaa为实数x的n位不足近似；110nnnxx称为实数x的n位过剩近似；对于实数01nxaaa，其n位不足近似01110nnnxaaa；n位过剩近似01nnxaaa.注：实数x的不足近似nx当n增大时不减，即有012;xxxx过剩近似nx当n增大时不增，即有01xxxx．命题：记01nxaaa，01nybbb为两个实数，则xy的等价条件是：存在非负整数n，使nnxy（其中nx为x的n位不足近似，ny为y的n位过剩近似）．命题应用————例１例１．设,xy为实数，xy，证明存在有理数r，满足xry．证．由xy，知：存在非负整数n，使得nnxy．令12nnrxy，则r为有理数，且nnxxryy．即xry．３．实数常用性质（详见附录Ⅱ．Ｐ２８９－３０２）．封闭性（实数集Ｒ对,,,）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为０）仍是实数．有序性：任意两个实数,ab必满足下列关系之一：,,ababab．传递性；,abbcac．阿基米德性：,,0abRbanN使得nab．稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．实数集Ｒ与数轴上的点有着一一对应关系．例２．设,abR，证明：若对任何正数，有ab，则ab．（提示：反证法．利用“有序性”，取ab）二、绝对值与不等式（分析论证的基本工具）．１．绝对值的定义《数学分析》教案5实数a的绝对值的定义为,0||0aaaaa．２．几何意义：从数轴看，数a的绝对值||a就是点a到原点的距离．认识到这一点非常有用，与此相应，||xa表示就是数轴上点x与a之间的距离．３．性质．１）||||0;||00aaaa（非负性）；２）||||aaa；３）||ahhah，||.(0)ahhahh；４）对任何,abR有||||||||||ababab（三角不等式）；５）||||||abab；６）||||aabb（0b）．［练习］Ｐ４．５［课堂小结］：实数：一实数及其性质二绝对值与不等式.[作业]Ｐ４．１．（１）２．（２）、（３）３