《数学分析》第十六章 多元函数的极限与连续

145第十六章多元函数的极限与连续(10时)§1平面点集与多元函数(3时)一.平面点集:平面点集的表示:),(|),{(yxyxE满足的条件}.1.常见平面点集:⑴全平面和半平面:}0|),{(xyx,}0|),{(xyx,}|),{(axyx,}|),{(baxyyx等.⑵矩形域:],[],[dcba,1||||),{(yxyx}.⑶圆域:开圆,闭圆,圆环.圆的个部分.极坐标表示,特别是}cos2|),{(arr和}sin2|),{(arr.⑷角域:}|),{(r.⑸简单域:X型域和Y型域.2.邻域:圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域,空心方邻域与集}||0,||0|),{(00yyxxyx的区别.二.点集的基本概念:1.内点、外点和界点：集合E的全体内点集表示为Eint,边界表示为E.集合的内点E,外点E,界点不定.2.聚点和孤立点:孤立点必为界点.例1确定集}4)2()1(1|),({22yxyxE的内点、外点集、边界和聚点.3.开集和闭集:EintE时称E为开集,E的聚点集E时称E为闭集.存在非开非闭集.2R和空集为既开又闭集.4.开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域.5.有界集与无界集:6.点集的直径)(Ed：两点的距离),(21PP.7.三角不等式：146||21xx（或||21yy）||||)()(2121221221yyxxyyxx.三.点列的极限:设),(nnnyxP,),(000yxP.定义0limPPnn的定义(用邻域语言).例2),(nnyx),(00yx0xxn,0yyn,)(n.例3设0P为点集E的一个聚点.则存在E中的点列}{nP,使0limPPnn.四.2R中的完备性定理:1.Cauchy收敛准则:先证{),(nnyx}为Cauchy列}{nx和}{ny均为Cauchy列.2.闭集套定理:[1]P89.3.聚点原理:Weierstrass聚点原理，列紧性.4.有限复盖定理:五.二元函数:1.二元函数的定义、记法、图象：2.定义域：例4求定义域：ⅰ),(yxf192222yxyx;ⅱ),(yxf)1ln(ln2xyy.3.有界函数:4.n元函数:Ex[1]P92—931—8.§2二元函数的极限(3时)一.二元函数的极限:1.二重极限APfDPPP)(lim0的定义:也可记为),(lim),(),(00yxfyxyxA或Ayxfyyxx),(lim00147例1用“”定义验证极限7)(lim22)1,2(),(yxyxyx.[1]P94E1.例2用“”定义验证极限0lim22200yxxyyx.例3设).0,0(),(,0),0,0(),(,),(2222yxyxyxyxxyyxf证明0),(lim)0,0(),(yxfyx.(用极坐标变换)[1]P94E2.Th1APfDPPP)(lim0对D的每一个子集E,只要点0P是E的聚点,就有APfEPPP)(lim0.推论1设DE1,0P是1E的聚点.若极限)(lim10PfEPPP不存在,则极限)(lim0PfDPPP也不存在.推论2设DEE21,,0P是1E和2E的聚点.若存在极限1)(lim10APfEPPP,2)(lim20APfEPPP,但21AA,则极限)(lim0PfDPPP不存在.推论3极限)(lim0PfDPPP存在对D内任一点列}{nP,0PPn但0PPn,数列)}({nPf收敛.2方向极限:方向极限Ayxf)sin,cos(lim000的定义.通常为证明极限)(lim0PfPP不存在,可证明沿某个方向的极限不存在,或证明沿某两个方向的极限不相等,或证明方向极限与方向有关;或沿两条特殊的路径的极限存在而不相等.但应注意,沿任何方向的极限存在且相等二重极限存在(以下例5).例4设.)0,0(),(,0),0,0(),(,),(22yxyxyxxyyxf证明极限),(lim)0,0(),(yxfyx不存在.(考虑沿直线kxy的方向极限).[1]P95E3.例5设.,0,0,1),(2其余部分时，当xxyyxf证明极限),(lim)0,0(),(yxfyx不存在.[1]P95E4.148二重极限具有与一元函数极限类似的运算性质.例6求下列极限:ⅰ)0,0(),(limyx222yxyx;ⅱ)0,3(),(limyxyxysin;ⅲ)0,0(),(limyxxyxy11;ⅳ)0,0(),(limyx2222)1ln(yxyx.3．极限),(lim),(),(00yxfyxyx的定义:其他类型的非正常极限，),(yx无穷远点的情况.例7验证)0,0(),(limyx22321yx.Ex[1]P99—1001⑴—⑹，4，5.二.累次极限:1.累次极限的定义:定义.例8设22),(yxxyyxf,求在点)0,0(的两个累次极限.[1]P97E6.例9设2222),(yxyxyxf,求在点)0,0(的两个累次极限.例10设xyyxyxf1sin1sin),(,求在点)0,0(的两个累次极限与二重极限.2.二重极限与累次极限的关系:⑴两个累次极限存在时,可以不相等.(例9)⑵两个累次极限中的一个存在时,另一个可以不存在.例如函数yxyxf1sin),(在点)0,0(的情况.⑶二重极限存在时,两个累次极限可以不存在.(例10)⑷两个累次极限存在(甚至相等)二重极限存在.(参阅例4和例8).综上,二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系.但有以下确定关系.149Th2若全面极限),(lim),(),(00yxfyxyx和累次极限),(limlim00yxfyyxx(或另一次序)都存在,则必相等.(证)[1]P98.推论1二重极限和两个累次极限三者都存在时,三者相等.注:推论1给出了累次极限次序可换的一个充分条件.推论2两个累次极限存在但不相等时,全面极限不存在.注:两个累次极限中一个存在,另一个不存在全面极限不存在.参阅⑵的例.Ex[1]P992§3二元函数的连续性(2时)一．二元函数的连续概念：由一元函数连续概念引入.1.连续的定义:定义用邻域语言定义连续.注:函数),(yxf有定义的孤立点必为连续点.例1设.0,1,0,),(2222222yxmmyxyxxyyxf证明函数),(yxf在点)0,0(沿方向mxy连续.例1设.,0,,0,1),(2其他xxyyxf([1]P101)证明函数),(yxf在点)0,0(不全面连续但在点)0,0(f对x和y分别连续.2.函数的增量:全增量、偏增量.用增量定义连续性.3.函数在区域上的连续性.4.连续函数的性质:运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性.(仅证复合函数连续性[1]P102).二.一致连续性:定义.三.有界闭区域上连续函数的性质:1.有界性与最值性.(证)2.一致连续性.(证)3.介值性与零点定理.(证)150Ex[1]P104—1051⑴—⑸，2，4，5.