《数学实验》课程实验指导书

1《数学实验》课程实验指导书2006-4-292目录实验一、微积分基础3实验二、怎样计算5实验三、最佳分数近似值6实验四、数列与级数7实验五、素数8实验六、概率9实验七、几何变换11实验八、天体运动13实验九、迭代（一）——方程求解15实验十、寻优16实验十一、最速降线18实验十二、迭代（二）——分形20实验十三、迭代（三）——混沌21实验十四、密码22实验十五、初等几何定理的机器证明23附表（实验报告）243实验一、微积分基础一、实验目的及意义：1、熟悉Mathematic软件常见函数图形2、通过作图，进一步加深对函数的理解，观察函数的性质3、构造函数自变量与因变量的对应表，观察函数的变化。二、实验内容：1．1函数及其图象1．2数e1．3积分与自然对数1．4调和数列1．5双曲函数三、实验步骤1.开启软件平台——Mathematics，开启Mathematics编辑窗口；2.根据各种问题编写程序文件3.保存文件并运行；4.观察运行结果(数值或图形)；5.根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会四、实验要求与任务根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）1、1函数及图形(1)在区间[-0.1,0.1]上作出y=sin(x)/x的图象,观察图象在x=0附近的形状(2)在同一坐标系内作出函数y=sin(x)和它的展开式的前几构成的多项式函数y=x-x^3/3!,y=x-x^3/3!+x^5/5!...的图象,观察这些多项式函数图象对y=sinx的图象逼近的情况.(3)分别取n=10,20,画出函数y=sin(2k-1)x/(2k-1),k=1,2,...,n求和}在区间[-3PI,3PI]上的图象.当N趋向无穷时函数趋向什麽函数?(4)别取n=5,10,15,在同一坐标系内作出函数f(x)=sinx与p(x)=x*(1-x^2/PI^2)*(1-x^2/(2^2*PI^2))*...*(1-x^2/n^2*PI^2))在区间[-2PI,2PI]上的图象,观察p(x)图象对y=sinx的图象逼近的情况.1、2数e观察当n趋于无穷大时数列an=(1+1/n)n和An=(1+1/n)n+1的变化趋势:（1）n=10m,m=1,2,...,7时的值,an,An观察变化趋势.（2）在同一坐标系内作出三个函数地图象y=(1+1/10x)10^x,y=(1+1/10x)10^x,y=e观察当x增大时图象变化趋势（3）计算e的精确值.1.3积分与自然对数41）计算1/x的大和及小和以及两者的平均，观察变化趋势。2）在同一坐标内作出S[x]和lnx的图象。1.4调和数列1）、在同一坐标内作出点集（n，H（n））连线和lnx的图象。2）、在同一坐标内作出C(n)=H(n)-ln(n)和H(n)-ln(n+1)，观察C(n)变化趋势1．5双曲函数1）、在同一坐标内作出u=1.5时cht和y=ax2+1的图象。2）、在同一坐标内作出u=0.1,0.01,0.001,...时cht和y=ax2+1的图象。]5实验二、怎样计算一、实验目的及意义：1、用现代技术实现的近似值的计算。2、掌握计算的几种方法二、实验内容：2．1数值积分法2．2泰勒级数法2．3蒙特卡罗方法三、实验步骤1.开启软件平台——Mathematica，开启Mathematica编辑窗口；2.根据各种问题编写程序文件3.保存文件并运行；4.观察运行结果(数值或图形)；5.根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会四、实验要求与任务根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）2．1数值积分法.梯形公式：S={(b-a)[y(0)+y(1)+y(2)+...+y(n)-y(0)/2-y(n)/2]}/n其中，[a,b]为积分区间，yi为函数在a+i(b-a)/n的值。辛普森公式(Simpson)：S=(b-a)[(y(0)+y(n))+2(y(1)+y(2)+...+y(n-1))+4(y(1/2)+y(3/2)+y(n-1/2)]/(6n)(1)对不同N，用梯形公式和辛普森公式计算Pi的近似值。(2)对不同的N=1000，10000，100000，。。。，观察用梯形公式和辛普森公式计算Pi的误差。(3)用梯形公式和辛普森公式计算s单位圆面积2．2泰勒级数法用反正切函数的泰勒级数arctan(x)=x-(x^3)/3+(x^5)/5-...((-1)^(k-1))x^(2k-1)/(2k-1)+...计算pi。其中x^n表示x的n次方：pi=16arctan(1/5)-4arctan(1/239).这称为Maqin公式2．3蒙特卡罗方法1）取不同的n做实验，将所得的的近似值记录下来，与已知的的值比较2）请尝试设计一个方案，用以计算机模拟蒲丰投针法实验。得出的近似值6实验三、最佳分数近似值一、实验目的及意义：1、掌握怎样用分数近似值去对给定的无理数作最佳逼近。二、实验内容：3．1分数对无理数的最佳逼近3．2乐音的频率比3．3实数的分数展开3．4计算对数值3．5二元一次不定方程的整数解三、实验步骤1.开启软件平台——Mathematica，开启Mathematica编辑窗口；2.根据各种问题编写程序文件3.保存文件并运行；4.观察运行结果(数值或图形)；5.根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会四、实验要求与任务根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）3．1分数对无理数的最佳逼近1）Pi分母q依次取遍1到100000的最佳逼近分数。对每个分母q，取p=0.5q作为分子得到一个最接近Pi的分数p/q2）上述分数中比较精确者3．2乐音的频率比请自己用C语言将所给的频率产生乐音,如TC2.0中的sound(a),a为频率。3．3实数的分数展开1)输入展开数（可用缺省值pi)及输入展开个数，当展开数小数部分少时，展开个数也应小。(1)这些分数是否为最佳逼近的近似值；(2)计算相临两个渐进分数之差的分子。2)利用连分数展开重做练习2。3．4计算对数值1)用辗转相除法求lg2的前几个渐近分数，展开成小数近似值并估计他们的误差，将所得结果与练习四的结果作比较2)用辗转相除法求LogbN的前几个渐进分数，展开成小数并估计它们的误差3．5二元一次不定方程的整数解问题:设a,b,c是整数,求二元一次方程ax+by=c的整数解.(a,b,c可以自己选择)7实验四、数列与级数一、实验目的及意义：1、用计算机图示的方法去寻找数列的规律及其极限状态的性质2、加深对极限概念的理解，进一步理解无穷小的概念和收敛速度问题二、实验内容：4．1Fibonacci数列4．2调和级数三、实验步骤1.开启软件平台——Mathematica，开启Mathematica编辑窗口；2.根据各种问题编写程序文件3.保存文件并运行；4.观察运行结果(数值或图形)；5.根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会四、实验要求与任务根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）4．1Fibonacci数列1）分别取N=20，50，100，200，500，观察Fibonacci数列的折线图，考察其性质。2）分别取不同的N,用直线去拟合数据(n,log(Fn)),n=1,2,3,...,N,由此求Fn的近似表示:(Log(Fn)=a+b*n,观察其线性项的系数b与黄金分割数0.618...的联系。3）证明:公式8不是Fibonacci数列通项(推荐使用c=2.3606794）公式9是Fibonacci数列通项4．2调和级数1）取充分大的N，观察调和级数的折线图，与4,,yxyxyx做比较，谁的发散速度快2）对充分大的一系列n，计算2nnSS，猜测2nnSS当n趋于无穷的极限，更一般地2knnSS趋于无穷的极限是什么？反过来，固定n，让k趋于无穷，2knS趋于无穷的速度是什么？得出nS当n趋于无穷的极限阶。3）用Jn表示不小于nS的最小整数（1）对1,2,3nNL，计算2JnJn，对每个n，设1JmJn，则/mn的范围是？（2）对每个1,2,330mL，另n是使得Jnm成立的最大整数，我们记为Lm，试计算比值1/LmLm，我们可以得到什么结果，当m趋于无穷，Lm关于m的阶是多大？由此，nS关于n的极限阶是多少？8实验五、素数一、实验目的及意义：1、探讨素数懂得规律及相关的某些有趣问题，掌握几个生成素数的公式二、实验内容：5．1素数的判别与求解5．2生成素数的公式5。3素数的分布三、实验步骤1.开启软件平台——Mathematica，开启Mathematica编辑窗口；2.根据各种问题编写程序文件3.保存文件并运行；4.观察运行结果(数值或图形)；5.根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会四、实验要求与任务根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）5．1素数的判别与求解1）已知前n个素数，按从小到大的顺序排列为12,npppL，计算121nnNpppL是否都是素数，如不是，是否含有不同于12,npppL的因子。以20为例。2）利用Eratosthenes筛选法，通过计算机编程求10000以内的所有素数。3）利用试除法，通过计算机编程求10000以内的所有素数。比较那一个更有效4）请输入n(1n1001)观察m*n-1被n整除的余数d(m(n-1)≡dmod[n])5）判断Mersenne数M7和M11是否是素数.6）请输入n(1n501)判断那些Mersenne数Mn=2n-1是素数.5．2生成素数的公式1）对n=1,...,1000计算公式一：M=n2+n+41.它们是否都给出素数？在10000以内的素数中，由公式一：M=n2+n+41给出的占多少？同样讨论公式二：M=n2-79n+1601和公式三：M=6n2+6n+31.5.3素数的分布1）将素数从小到大排序P1=2,P2=3,....用dn=Pn+1-Pn表示相邻的素数间的间隔.计算d1,d2,...,dn并画图2）在二维坐标平面上标出点列(n,Π(n)),n=1,2,...,N。观察Π(n)趋于无穷的趋势，并和函数y=x,以及y=(x)1/2比较。类似观察(n,Π(n)/(x)1/2),以及(n,Π(n)/n),(n,n/log(n)),和(n,n/Π(n))。3）对任意二到一百万之间一整数n,，计算Π(n),n/log(n),n/(log(n)-1.08366),看看哪个更接近Π(n)。9实验六、概率一、实验目的及意义：1、将随机试验可视化，直观理解概率论中的一些基本概念，通过观察和分析实验结果来加深对概率及随机变量知识理解2、初步体验随机模拟方法二、实验内容：6．1概率的古典定义6．2概率的统计定义6．3二项分布与Poission分布6．4正态分布6.。5第一反正弦律三、实验步骤1.开启软件平台——Mathematica，开启Mathematica编辑窗口；2.根据各种问题编写程序文件3.保存文件并运行；4.观察运行结果(数值或图形)；5.根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会四、实验要求与任务根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）6．1概率的古典定义1）乙两棋手棋艺相当，他们在五局三胜制的比赛中相遇。在甲已两胜一负的基础上，用计算机模拟他们以后的比赛，计算他们应得的奖金。2）列举出同时抛掷三颗骰子的所有可能结果