《数学归纳法》教案

1人教课标版数学归纳法第一课时教案河南省郸城县才源高中王保社教材、教法分析数学归纳法作为直接证明的一种特殊方法，主要用于证明与正整数有关的数学命题。人教课标版教科书把数学归纳法安排在选修2-2第二章推理与证明中，教学时间为2课时，本教案为数学归纳法的第一节课。在此之前，学生已经通过数列一章内容和推理与证明内容的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法，知道不完全归纳法是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由有限多个特殊事例得出的结论的归纳推理是合情推理，而由合情推理得出的结论未必正确。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。数学归纳法是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要载体，也是培养学生严密的推理能力及抽象思维能力的好素材。学生通过推理与证明前两节的学习，已基本掌握归纳推理，且已经具备了一定的观察、归纳、猜想能力。通过近几年教学方法的改革和素质教育的实施，学生已基本习惯了对已给问题的主动探究，但主动提出问题和置疑的习惯仍需进一步强化。结合教学内容特点，本课主要采用“探究式学习法”进行教学。教学目标根据教学内容特点和教学大纲、结合本校学生实际制订以下教学目标。1.知识目标（1）使学生进一步了解不完全归纳法属于合情推理，而由合情推理得出的一般结论未必正确。（2）使学生了解归纳法,理解数学归纳的原理与实质．（3）掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与整数有关的命题．2.能力目标（1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。（2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。3.情感目标（1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。（2）努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率．教学重难点根据教学大纲要求、本节课内容特点和学生现有知识水平，确定如下教学重难点：1.重点（1）初步理解数学归纳法的原理。（2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。（3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。2.难点（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。（2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。2教学过程：一、创设问题情景师：本节课我们学习《数学归纳法》（板书）。在本章第一节我们学习了合情推理与演绎推理，下面请同学们思考一下，“天下乌鸦一般黑”这一结论是通过合情推理还是通过演绎推理得到的？生：“天下乌鸦一般黑”这一结论是通过不完全归纳法得到的，不完全归纳法是合情推理。师：由合情推理得到的结论是否一定正确？生：教科书上明确指出：由合情推理得出的结论未必正确。师：回答的很好，不完全归纳法得到的结论带有猜想的成分，因此推理所得的结论不一定正确（顺便指出人们已在非洲的坦桑尼亚发现三种并非全黑的乌鸦，在日本也发现了一只全身皆白的真正的白乌鸦），但是它具有猜测和发现结论、探索和提供证明的思路和方向的作用，在数学上，我们很多时候是通过观察→归纳→猜想，这种思维过程去发现某些结论的。师：我们先来探究下面一个问题：数列{na}中，，2121aa201112aaaannn，求；生：写出数列{na}前几项，观察可知{na}是周期为6的周期数列，所以2011a=1a=1。师：很好。本题是观察数列{na}前几项，归纳出一般的规律，再由一般的规律写出2011a。我们再来探究一个问题：已知数列{na}的通项公式为1)55(22nnnan，学生分别计算1a、2a、3a、4a的值，猜想na的值，并计算5a的值。生甲：，11a，22a，33a，44a由此可猜想na=n。生乙：甲的猜想不正确，因为55a。师：乙的回答是正确的，本题也是观察数列{na}前几项，归纳出一般的规律，再由一般的规律写出5a，但结论是错误的。总结：通过前面两个例子，使我们进一步认识到用不完全归纳法得出的结论，因为只考察了部分情况，结论不一定具有普遍性。现在请同学们想一想，在以前给出的数学公式中，有没有用不完全归纳法得出的？生：有。例如等差数列通项公式的推导。师：很好。我们是由等差数列前几项满足的规律：daa011，daa12，3daa213，daa314，……归纳出了它的通项公式的。等差数列的通项公式也是由有限个特殊事例归纳出来的，也可能不正确，又因为正整数有无限多个，不可能一一验证，那么该如何证明这类有关正整数的命题呢？二、设置问题，引导探究师：同学们小时侯放过鞭炮没有？生：（没）放过。（课堂气氛由刚才的沉思变得开始活跃）师：无论放过还是没放过，相信同学们对放鞭炮都很熟悉，下面请思考：点燃一盘鞭炮后，满足什么条件，一盘鞭炮可以全部响？生：若前一个响，则后一个也响师：这样就保证了可以递推下去，鞭炮就可以全部响了，是吗？生：不是。若第一个鞭炮不响，则一盘鞭炮也不会全部响，所以，还要有一个条件：第一个炮要响。师：大家说有了这两个条件，点燃一盘鞭炮后鞭炮是不是可以全部响呢？生：是。师：上面的同学说得很好，要使一盘鞭炮全部响应满足两个条件，第一个条件是：第一个炮要响；第二个条件是：若前一个响，则后一个也响，该条件可转化为：假设第k个炮响张，第1k个炮一定响。学生类比鞭炮全响的原理，探究出证明有关正整数命题的方法（建立数学模型）。（1）n取第一个值0n(例如01n)时命题成立;（2）假设n=k(k*0,Nkn)命题成立，利用它证明n=k+1时命题也成立。满足这两个条件后，命题对一切n*N均成立。现在你能不能利用这种思想（递推思想）来证明等差数列通项公式呢？三．方法尝试（学生共答，教师板书）证明：（1）当1n时，左边1a，右边110ada，等式是成立的。（2）假设当kn时等式成立，就是dkaak)1(1，下面看看是否能推出n1k时等式也成立，那么1ka等于什么？生：由dkaak)1(1可得dkaak1)1(11。师：看来1kn时等式也成立，这样做对吗？生：（齐答）不对。师：用数学归纳法证明数学命题时，难点和关键都在第二步，而这一步主要在于合理运用归纳假设，即以“n=k时命题成立”为条件，证明“证1kn时命题也成立”。这里容易出现的错误是证明中不使用“n=k时命题成立”这个条件，而直接将n=k+1代入命题，便断言此命题成立，从而得出原命题成立的结论。下面请同学们给4出正确的证明过程。（学生齐答，教师继续板书）ddkadaakk)1(11dka1)1(1。这就是说，当1kn时，等式也成立，大家说有了这两步，是不是就证明了等差数列通项公式的正确性了呢？生：1n时等式成立2n时等式成立3n时等式成立……所以n取任何正整数等式都成立。师：我再补充一点：完成第一步、第二步后，必须要下结论，其格式为：根据⑴⑵可知公式对任意*Nn都成立.四、理解升华师：上面这种证明方法叫做数学归纳法，数学归纳法一般被用于证明与正整数有关的数学命题，下面请同学们总结一下用数学归纳法证题的步骤。学生交流后，共同总结，教师板书：（1）证明当n取第一个值0n（例如10n或2等）时结论正确；（2）假设当kn（*Nk，且0nk）时结论正确，证明当1kn时结论也正确。根据（1）和（2），可知命题对从0n开始的所有正整数n都正确。概括起来就是“两个步骤，一个结论。”师：用数学归纳法证题时，两个步骤各起到了怎样的作用呢？生：第一步是命题递推的基础，第二步是命题递推的根据。师：回答的很好，我再强调一点：数学归纳法证题时这两个步骤缺一不可，只有把两个步骤中的结论结合起来，才能断定命题成立.五、数学归纳法的应用师：我们已经知道，由不完全归纳法得到的结论未必可靠，因而必须作出证明。若命题是与正整数有关的，证明可考虑用数学归纳法。下面请同学们看一道例题。例1：用数学归纳法证明：212531nn本例主要由学生完成，教师适时作必要引导。这样处理有利于培养学生用所学知识解决问题的能力。教师主要引导学生参与讨论的内容是：1当1nk时，证明的目标是什么？2当1nk时，能否这样证明：2135(21)2(1)1135(21)(21)1(21)(1)2(1)kkkkkkk5例2：在数列{na}中,1a＝1,nnnaaa11(n∈*N),先计算2a，3a，4a的值，再推测通项na的公式,最后证明你的结论．本例要求学生先猜想后证明，意在使学生经历一次数学研究与发现的完整过程，并一步熟悉数学归纳法。教学中可先让学生思考3分钟，然后让两位学生在黑板上板书解题过程，最后师生共同分析两位学生的解法。六、小结（师生共同完成）1数学归纳法是科学的证明方法；利用它可以证明一些关于正整数n的命题。2数学归纳法证明命题的两个步骤。3用数学归纳法证明命题的两步骤缺一不可。4证明n=k+1命题成立时，一定要利用假设。5证明n=k+1命题成立时，首先要明确证明的目标。七、布置作业选修2-2第96页习题2.3A组八、课后反思教案中放鞭炮的例子，在教科书中原为多米诺骨牌游戏，由于农村学生对这种游戏比较陌生，结合本校学生实际换成放鞭炮的例子，通过这个例子引发了学生的求知欲望，从教学效果来看还不错。