《数学思想与方法》考试辅导

《数学思想与方法》课程考试辅导（朱）主持教师：同学们，老师们，大家好！这里是中央广播电视大学直播课堂，今天我们要辅导的课程是×××。来到直播课堂的是××大学的×××（教授），他（她）是我们这门课程的主讲（编）老师，×老师（教授）您你。（姚）主讲教师：大家好！很高兴来到直播课堂。（朱）主持教师：直播课堂还设有热线电话，号码是：[phone]，大家如果有什么问题请打电话提问。同时，本次直播通过电大在线学习网同步播出，网址是：，欢迎大家登录收看网上直播，进行在线交流。一、考核方式1.本课程的考核采取两种形式：形成性考核和课程终结考试。课程总成绩按百分制计算，形成性考核占20%，课程终结考试占80%。2.形成性考核：包括平时作业、参与面授辅导和各项教学实践活动的情况，以及学生对学习过程的自我监控情况。3.课程终结考试：形式为闭卷，笔答，满分为100分，由中央电大统一命题，在同一时间全国统考。4.考试时间总共为120分钟。5.试题按其难度分为容易题、中等题和较难题，其分值在期末试卷中的比例大致为4：4：2。6.试题类型分为：填空题、判断题、简答题和解答题。填空题只要求直接填写结论，不必对结论进行解释；判断题要求给出正确与否结论；简答题只要简明扼要地写出答案；解答题要求比较充分地论述所得结论，或者根据题目要求编写出能展示教学过程及反映教学要求的教学片断。四种题型分数的百分比大致为：填空题30%、判断题10%、简答题30%、解答题30%。7.本次辅导主要是针对课程终结考试的辅导。考试不是目的，而是一种手段，希望通过辅导和学员自己的复习，达到帮助学员进行课程学习总结，从整体上把握《数学思想与方法》课程的重点，进一步理解数学中的一些重要思想和方法，以形成对数学的正确认识。二、课程终结考核的目标和范围1.了解数学思想方法的源头、几次重要突破和现代数学的发展趋势。2.掌握数学教学中常用的数学思想方法及其应用。3.了解数学思想方法教学的重要意义，掌握数学思想方法教学的特点并能初步应用于小学数学教学。4.根据教材所涵盖的有关知识内容，涉及教材内容不少于60%。三、上篇数学发展中的思想与方法概述1.本篇容主要是从数学思想与方法的角度对数学的发展进行一定的分析与总结。2.主要内容原始数学思想与方法发展的两种模式；数学思想方法发展的三个不同阶段；如何认识数学的真理性；现代数学发展的主要特征。3.掌握上篇教学内容的关键是在理解的基础上熟记。这部分内容可能涉及到的题型有填空题、简答题和判断题三类。四、中篇数学中的一些具体思想与方法分析1.本篇内容主要是分析总结在数学发展中体现出的一些重要思想和方法。2.主要内容抽象、概括、归纳、类比、猜想、演绎、化归、计算、算法、数学模型、分类、数形结合和特殊化方法。3.掌握中篇的教学内容关键是在理解的基础上熟练运用各种数学方法分析、解决各种数学问题，这也是本课程最重要的内容。涉及到的题型可能有填空题、简答题、判断题和解答题。五、下篇数学思想方法的重要性和应用1.本篇主要是分析概述数学思想方法的重要性及其在数学教育中的应用。2.主要内容数学思想方法应用于数学教育中的重要性；如何将数学教学提高到数学思想方法的高度；选编案例及其分析。3.掌握下篇的教学内容关键是在理解的基础上把中篇的内容与小学数学教学结合起来，并将数学思想方法渗入日常的教学中。涉及到的题型可能有简答题和解答题。六、各种数学方法的典型应用1．公理化方法的应用举例：以开普勒三定律和牛顿运动三定律为理论逻辑起点，推出牛顿理论的定理、原理、结论和公式。例如，用牛顿第二定律作为一组运动微分方程，在给定某段时间内任意时刻物体所受的外力和物体初始条件后，便可以推出任意时刻物体运动的加速度、速度、位置和轨迹，因此牛顿第二定律的数学表达式又称为物体的运动方程。若牛顿第二定律中所说的“动力”并非物体只受一个力的情况，而是“一个物体同时受两个力作用，就沿平行四边形的对角线运动，所用的时间和它分开受到这两个力的作用而沿两边运动时的时间相同。”可以得知力的矢量合成和分解遵循平行四边形法则。如果定义力对时间的积累为冲量，则由牛顿第二定律可推出动量定理的微分形式；考虑力在某段有限时间内的积累效果，则有运动过程中物体所受的合力冲量等于物体动量的改变量；如在某个方向上所受的合力为零，则沿此方向的动量守恒。若以开普勒三定律和牛顿第二定律为基础，则可以推出著名的万有引力定律。把上述定理和定律应用于物体做转动的系统，便可以推出一系列适用于转动物体的定律和定理，如物体的角动量定理和角动量守恒定律等。牛顿还把面上物体的运动和太阳系内星球的运动统一在相同的物理定律中。牛顿将这些逻辑演绎过程写在了他的名著《自然哲学的数学原理》中，第一次有系统地运用公理化方法表述了经典力学体系，被认为是经典力学的奠基著作。2．抽象方法的应用举例：分数概念的形成。教学分数的意义时，通过演示教具和操作学具，让学生把一个圆，一个正方形，八根彩色小棒，一条线段等，各自分成若干等份，标出其中的一份或几份；撇开各种实物的不同颜色、形状，而仅仅注意它们等份的份数以及所取的几份。多次操作后，结合直观图示概括：把单位1（可以是一个物体），平均分成几份，表示其中的一份或几份的数叫分数。然后介绍分数的表示方法及分数各部分名称，最后让学生举出几个不同的分数并说明它们表示的意义。通过动作思维——建立表象——抽象思维——具体实例，分数的概念在学生头脑中就初步形成了。3．概括方法的应用举例：乘法分配律教学的概括过程。（1）从实际生活中引入课题。实际问题：做一张桌子需要10元，一把椅子需要5元。算一算，做四套这样的桌椅一共需要多少远？启发学生用不同的方法解答。解法一604510解法二6045410通过观察、比较，发现什么？两种算法不同，但结果相同451045410（2）从运算意义的角度探索。说出下面左、右两个式子所表示的意义，并计算结果16182716181627发现什么？161827=16181627（3）从运算顺序的角度探索。说明下面左、右两个式子的运算顺序有什么不同？7912712912发现什么？7912=712912（4）概括式（填字幕、符号）cbcacba)(然后启发学生概括成数学结语。4．猜想方法的应用举例：两个边长相等的正六边形，一个顶点在另一个的中心上，且绕着这个中心转动，求重合部分的面积是这个正六边形面积的几分之几？分析：首先联想，两个半径相等的圆，一圆经过另一个圆的圆心，现将一圆绕另一个圆的圆心转动，显然它们重合部分的面积是不变的。（此处需要图示：两个相交正六边形----和两个相交圆）其次，将图1与图2比较，它们相同之处都有两个完全相等的图形，且一个绕另一个的中心旋转，而不同之处：前者是圆后者是正六边形，然而如果我们视正六边形是一个正n边形，又此正n边形的边数无限多时，则又可近似地看作是圆。最后猜想，当一个正六边形绕另一个正六边形中心旋转时，其重合部分的面积是不变的。根据这一猜想，将一正六边形绕到另一个正六边形特殊位置，则容易求出其重合面积是正六边形面积的31。5．反驳方法的应用举例：(1)构造一反例。即举出一个例子，说明它具备命题的全部条件，但不具有命题的结论。例如十七世纪法国杰出的数学家费尔马对形如122nnA的数进行了探讨。当n=0，1，2，3，4时，它们分别是质数：3、5、17、257，65537。因而他提出猜测：n是所有自然数时nA都是质数。过了半个多世纪，到十八世纪时，欧拉首先找到了一个反例，计算出n=5时，nA=4294967297=6416700417是一个合数，从而否定了费尔马的这个猜想。(2)假定命题成立，推出荒谬结果，从而证明了该命题是虚假的。例如证明“零可以作除数”是错误的。证明：因为2—2=3—3即2(1—1)=3(1—1)若零可以作除数，则推出2=3这一结果，显然荒谬。“零可以作除数”是错误的。6．化归方法的应用举例：在假定我们已经会求矩形面积的前提下，去求解：(1)平行四边形面积；(2)三角形面积；(3)多边形面积。解(1)由于我们已经会求矩形面积，因而我们会很自然地想到用割补法把平行四边形化为与之等积的矩形。(2)可用拼接法，把两个三角形拼成一个平行四边形，从而把问题转化为(1)的情形。(3)可用分割法将多边形分割成若干个三角形，这样就把问题转化为(2)的情形了。例1中3个小题的求解过程有一个共同的特点，那就是它们都不是利用面积的最基本的概念(含单位正方形的个数)去求其面积，而都是将来解决的问题转化归结为一个已经能解决的问题，从而求获原问题之解答，这正是化归方法的重要特色。7．模型方法的应用举例：库存问题：商店经营商品需要仓库存货，而贮存货物需要贮存费用，若进货太多，一时卖不掉，就得净付贮存费；但是进货太少也不行，这是因为每次进货总要耗费人力、物力，诸如派人采购、动用车辆运输、电讯联络等都要用钱。那么每次进货多少最经济?所谓每次进货多少最经济，就是指每年用于采购订货及库存的总费用最少。为了建立库存问题的数学模型，必须掌握某商品的全年销售量，该商品的每次进货量，每件商品的年存贮费用，每次进货所需的费用。为了保证商品不脱销，还应考虑仓库中要有一定数量的备用商品，进货商品中的不合格率和运输途中的损坏率等。要同时考虑这许多因素，建立数学模型就比较困难，因此可将问题适当简化，对于该问题中的备用商品量，进货中的不合格率和运输过程中的损坏率等因素暂时不加考虑。设某商品的全年销售量为D，每次进货量为Q，每件商品的年存贮费用为I，每次进货费用为S。刚进货时仓库中货物最多，有Q件，后来逐渐卖完，库存货物减少到零，到下次进货时又突然增加到Q，因此平均库存量为Q/2，年存贮费用为QI/2。已知该商品年销售量是D，每批进货量为Q，故每年进货次数为D/Q，因为每次进货用为S，故每年进货开支为DS/Q将上面两项费用相加，就得到每年用于采购、订货及库存的总费用：T=QI/2+DS/Q（1）由于每批进货多少可由我们随意确定，因此Q是变量，而商品的全年销售量、每件商品的年存贮费用、每次进货费用均可根据商品经营资料查知，因此都是常数。现在的问题是，求出一个最佳进货量Q，使目标函数(1)的取值最小。由平均数不等式可得222IDSQDSQIT等号仅当22DSQ时成立。于是可推得当22DSQ时T最小，即我们要求的最佳进货量为QDSQ2*上面建立的这个仓库存货模型是非常理想化的，既没有考虑安全系数，即当天卖完当天进货，连一件备用商品也没有；也没有考虑进货商品中的不合格品和运输途中的商品损坏，不太符合实际情况。实际上，每批订货都要多订一些，才能保证商品不脱销。至于每批多订多少才能保证正常销售，这可根据过去的销售经验加以确定。不妨设这笔增加订货的进货费用为B，那么每次进货的费用就由S变为BS，于是最佳进货量应为QBSDQ)(2*这个模型显然比前一个更加精确。但是，它仍然只适用于供销业务比较稳定的情况，当供销业务不稳定时则需要建立更加复杂的数学模型。8．类比方法的应用所谓类比，是指由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也应具有这种属性的一种推理方法。它是一种从特殊到特殊的推理方法，其结论具有或然性，是否正确需要经过严格的证明或者实践检验。类比的种类有（1）表层类比；（2）深层类比；（3）沟通类比。表层类比是根据两个被比较对象的表面形式或结构上的相似性所进行的类比，这种类比可靠性差，结论具有很大的或然性。深层类比是通过对被比较对象的处于相互依存的各种相思属性之间的多种因果关系的分析而得到的类比，这种纵向类比是在数学的同一分支内的一种类比，一般表现为空间问题用平面问题来类比，高次问题用降次问题来类比，多元问题用一元问题来类比。类比法在数学教学中的应用可以归纳为（1）通过类比学习新知识通过复习旧知识，再设计一个新的类似情景，启发学生通过类比学习新知识，或沟通