1《数学课堂教学求异思维的研究》结题湖北省“创新教育数学实践与研究”长冲中学数学教研组舒克章一、课题介绍(一)课题名称和性质课题名称:数学课堂教学中求异思维的研究本课题是湖北省教研室“初中创新教育教学实践与研究”研究课题的子课题。本课题是一个具有较强可操作性与实践性、研究性的实用性课题。该课题是由长冲中学在2002年12月在黄冈市教科院申报立项,并同时在全校开展课题研究,历时三个年头,完成了课题方案设计的研究任务,现将课题研究实践过程报告如下:(二)实验课题的提出:随着新课程标准,新课程在全国开始实验并推广,引发了学生学习方式、教师教学方式的一场变革,教学应以为学生提供终身学习的方法和能力为最终目标。传统的学习方式基本上可以归纳为一种接受式的学习方式,是指学生通过教教师呈现的材料来掌握现成知识的一种学习方式。在这种学习方式中,学生所学知识的全部内容,基本是教师以定论的形式传授给学生的,学生不需要任何独立的发现,只须被动地接受或理解,这种传统的接受式学习方式固然在着它的优越性,它可以使学生在相对短的时间内掌握较多的知识,同时它能充分发挥教师的主导作用及科学知识结构的内在功能;而新课程理念下的学习方式应是在教师的指导下,通过学生自主性、探索性学习,从而感受知识形成,产生过程,进而掌握知识,煅炼自己的思维品质,培养创新能力,可以归纳为一种发现式学习方式。课堂教学的核心是培养学生的思维能力,传统的数学教学偏重于学生逻辑思维的训练,刻意追求学生思维的严密性、顺序性,而忽视学生发散思维能力的培2养,使学生的思维目标从一开始就深深地刻上了“轨道”方向,从而扼杀了学生思维的独立性、自主性、探索性,缺失了创新思维品质。基于新课程理念,新课标的要求,新课程改革发展的需要,在数学教学中培养学生创新思维品质,是现代社会人才观对我们教师提出的要求,也是学生今后终身学习的需要。按照学校“创新教育教学研究与实践”课题组的统一布置,我们数学教研组把子课题确定为“数学课堂教学求异思维的研究”。(三)课题实验前期工作。1、课题实验教师参加课题组组织的课题研究的理论学习,加强师资理论储备。2、组织实验教师到教改实验先进市区考察学习,感受课题研究气氛,借鉴先进经验。3、学生培训,向学生介绍一些新的学习方法,使之与新的课堂教学模式适应。4、根据学习内容,学生年龄特点,确定不同年级的课题研究内容。(1)初一数学课堂教学中逆向思维的研究;(2)初二几何教学中发散思维的培养;(3)初三发展求异思维,优化思维品质二、课题实施(一)实验方案1、课题目标总体目标:通过“数学课堂教学求异思维的研究”课题实施,改变学生传统的思维方式,改善学生的思维品质,丰富学生的思维多向性,培养思维的创新意识;同时通过课题研究改变教师的教学方式(如发现学习法,开放学习法、探索学习法等),以及学生的学习方式(如自主学习、探究学习、合作学习等);阶段目标:根据求导思维的多维性、探索性、逆众性、开拓性,结合各阶段学生认知特点,教学内容的属性确定各年级课题研究目标如下:3初一阶段:通过逆向思维的培养与研究,促进学生思维的灵活性和发散性,使学生掌握的知识得到有效迁移,从而煅炼创新思维的能力和意识。初二阶段:以重在培养发散能力的课堂教学实践活动为载体,优化学生思维品质,增强自己发现结论,探索原因的能力,进一步培养学生的创新意识与能力。初三阶段:通过开展“一题多解,提高思维的灵活性。”;“重视开放问题的探究,培养思维的开放性”等实践研究活动,促进学生学习方式的转变,变被动的老师指示思维为独立的探究创造思维,加强自我创新的意识与能力的培养。三、专题研究(一)初一数学教学中的逆向思维的研究初中数学学习是从代数开始的,它的教学对学生顺利适应初中数学的学习很重要。初一代数所包含的数学知识比小学数学的内容更丰富,内含更深刻。代数方法比小学算术方法更灵活、技巧性更强,充分体现了代数方法思考问题,解决问题的优越性,因此,在初一数学教学中,应大力发展学生的代数观念,培养学生创新思维能力。解决数学问题的过程,一般总是从正面入手进行思考,这是解决数学问题的一种基本思维方法。但是有时会遇到从正面考虑比较复杂甚至无数解决的情况,这时我们就应该调整自己的思维方向,尝试从问题的反面去思考,或者运用相关的数学知识,就可以顺利地解决问题,而且会达到出其不意的效果。这就是解决数学问题的另一种方法——逆向思维。逆向思维是求异思维的一种形式,是一种创造性思维。所谓逆向思维就是把问题倒过来,或从问题的反面思考,或者逆用数学公式法则解决问题。加强逆向思维的训练,可以培养思维的灵活性与发散性,发展思维的创新性。经常运用逆向思维解决问题,有利于巩固数学知识提高解决解题能力,发展学生智力。初一数学内容中,有许多利于培养学生迈向思维的好素材,为我们开展课题研究提供了好的“视角。”逆用运算律。4例1:计算:52÷(-252)-218×(-143)-0.25分析:传统的顺向思维方式应按照有理数混合运算的顺序进行计算,显然计算量较大,易导致计算错误;不妨观察题目的特殊,适当变形,发现可以逆用分配律,省去通分麻烦。解:原式=52×(-125)-218×(-47)-41=41×(-32)+41×38-41=41(-32+38-1)=41×1=41例2:计算[(x-2)(8x+3)-3(x+1)(x+2)+2(2-x)(2x-5)]÷(x-2)分析:一般的思考方法是将括号里的每一部分先算出来,然后去括号,再合并同类项,再进行除法运算;若仔细观察,将括号中的每一部分(x-2)[2-x=-(x-2)]看作一个整体,逆用运算律,计算就更简便。逆用运算法则例3:计算(-0.125)3×84分析:如果正向思考,按运算顺序就要先求出(-0.125)3与84之值,再把结果相乘,这样既烦且又容易出错,考虑到0.125与8互为倒数,即乘积为1,若逆用同底数幂的乘法法则am,·nn,=am+n,和积的乘方法则(ab)n=anbn,就可顺利求解,本例还可推广:如求(-0.25)2003,(-4)2004的值。例4:已知10x=2,10y=3,试求103x-2y的值分析:要求103x-2y之值,可把式子先化成10x,10y的幂的形式,因此逆用同底数幂除法法则,am÷an=am-n及幂的乘方法则(am)n=amn即可求解。103x-2y=103x=(10x)3÷(10y)2逆用乘法公式乘法公式是初一代数的一个重要内容,熟练掌握和正确运用公式,可以简捷地进行多项式的乘法运算,但有些计算如果直接应用公式则事倍功半,若逆用公式则有事半功倍之效。例5:计算(z-2y+3x)2-(z+2y-3x)25分析:观察式子的整体结构,若逆用平差公式a2-b2=(a+b)(a-b)就可以消去一些项,从而简化运算。例6:已知a=m+2003,b=m+2004,c=m+2005,求a2+b2+c2-ab-ac-bc的值。分析:考虑到完全平方公式的特征,逆用完全平方公式,将原式转化成(a-b)2,(b-c)2,(c-a)2的运算,再代入运自然即可消去m。上面,从几个不同的侧面体会了逆向思维的应用,在课堂教学中我们还可以挖掘许许多多的教学内容开发学生的逆向思维,通用加强逆向思维的教学,有利于开拓学生思维的广泛性、创造性,以丰富学生的解题经验,提高解题的灵活性。(二)初二几何教学中发散思维的培养美国心理学家吉尔福特把发散思维定义为一种不依常规,寻求变异,从多方面寻求解决问题方案的思维形式。它认为发散思维是一种创新思维,思维方向发散于不同的方面。即从不同的方面进行思考,在数学学习中,发现思维表现为依据定义、定理、公式和已知条件,思维朝着各种可能的方向扩散前进,不局限于既定的模式,从不同的角度寻找解决问题的各种可能途径。在平面几何教学中,应该让学生学会“执果索因”的分析法,以开阔解题思路;鼓励学生从各种途径用多种方法思考问题,寻求新颖解法;要求对题目进行变形,训练思维的发散性;培养学生对问题进行探索,探究的能力。1、执果索因,寻求众多解题途径。平面几何教学中,我们应教会学生常用的寻求解题的方法。如分析法,可使学生掌握这种逆推的思维方式,分析法的思维结构有助于开阔解题思路,对同一道题往往能寻求到从不同角度得到的解决途径。例如,要证明两条线段相等,我们可以从全等三角形、等腰三角形、平行四边形的性质,平行线等分线段定理等有关等量定理去解决。2、一图多变,训练思维的发散性。这种发散思维是指对图形中某些无素的位置不断变化,从而产生一系列新图形,了解图形的演变过程,启发学生注意解题思路,不仅可以达到举一反三,触6类旁通的目的,还可以通过演变过程了解他们的区别与联系,使知识系统化,这样能激发学生的乐学情绪,培养学生的探索能力和创新素质。例1:在星形如图1,求证:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180º解答完此题后,不妨引导学生画出变式图形(如图2——5),并探究这些图形之间的变化联系,思考是否仍有五角之和等于180这个结论?若有如何证明?这样通过变式图形来激发学生的学习兴趣,有效地培养学生的发散思维能力。3、独僻蹊径,创造性地解决问题。为完成某章、某节的数学任务,教材在其中有目的、有计划地安排了一定量的练习,习题、复习题,然而这样安排的题目都带有暗示性,学生思维往往因此受到限制而不能发散。此外,学生在解完一题后,也往往会产生思维停顿,此时,教师指导学生观察、联想、沟通,启发学生结合图形结构进行创新思维,鼓励学生提出新颖的设想,独特的思考方式。例2:如图,在△ABC中,AB=AC,P是BC边上任意一点,PD⊥AB于D,7PE⊥AC于E,BF⊥AC于F.求证:BF=PD+PE一般的思路是采取“截长补短法”,作PG⊥BF于G,证明BG=PD,PE=GF,我们还可以根据图形结构特点及要证明的结论的特征探求其它证明方法。连AP,则S△ABC=S△ABP+S△ACP.即21AB·PD+21AC·PE=21AC·BF,易得BF=PD+PE,这种证法简捷明了,给人耳目一新之感。(三)发展求异思维,优化思维品质数学教学是数学思维的教学,因此,数学教学的任务,不仅是教会学生掌握教学大纲所规定的教学任务,更重要的是发展学生的思维能力,它是数学能力的核心。初三阶段是九年义务教育的最后关键,课堂教学面临双重任务,既要为学生今后的继续学习提供思维方法储备,又面临中考升学的压力,因而优化思维品质显得尤为重要。优化思维品质就是要求学生在思维的灵活性、独特性、深刻性,敏捷性、求异性方面不断有所提高和发展,培养创新思维能力,而求异思维的训练是达到这些目标的有效途径。1、克服思维定式,注重多向思维,培养思维的灵活性。例题教学是初三数学教学的一种重要的形式,任何数学问题,它的内在知识结构决定了解决问题的方法,教师教学中应重在引导学生研究题目结构,揭示问题本质,灵活把握思维方向,寻求合适的解题途径。例如求一次函数y=3x-1与y=-3x+5的交点的坐标,可以用图象法解,也可以通过方程组求解,不同的解法既揭示了数与形的联系,又沟通了几类知识的横向联系,拓展了学生的知识面,开拓了学生的思维。数学中的一题多解,通过求异思维的探究,有利于培养学生思维的灵活性和广阔性。例如:如图1,D为BC中点,E为AD中点,BE交AC于点F,求证:AF=21FC.8通过多种辅助线的作法,得到不同的证题思路。这样,不仅复习了数学知识,开阔了解题思路,培养了思维的灵活性和开阔性,有利于创新思维的训练。2、注重一题多变,加强思维发散,培养思维的创造性。数学思维的创造性是思维品质的最高层次,只有多种品质协调一致发生作用,才能有助于创造思维能力的培养,教学中应有意通过一题多变,一题多答等有发散性的题型的训练,培养思维的创造性。例如:四边形ABCD是直角梯形,E为AB的中点,EF⊥CD于F,且EF=21AB,根据这个条件,你能得出哪些结论?学生根据已有的知识,经过推理判断,可以寻找相等的线段,相等的角,相似三角形等等。3、提倡解题后的回顾反思,培养思维的批判断性和深刻性。在一个为数学问题解决之后,往往要认真