《整式的乘除》复习指导

-1-幂的运算学习导航一、运算法则精读（一）同底数幂的乘法1、同底数幂的乘法的法则是：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.用字母可以表示为：am×an＝am+n（m、n都是正整数）.在这个表达式中，等式的左边是两个幂底数相同，且是乘积的关系；而右边是一个幂，与左边相比，底数不变，只是指数是左边的指数相加而得到.2、在同底数幂的乘法法则中的底数字母a可以表示一个数，也可以表示一个单项式或一个多项式.如323131＝.243131315323、法则am×an＝am+n还可以推广使用，即当三个或三个以上的同底数相同时，底数仍然不变，只要将指数分别相加即可，如am×an×ap＝am+n+p（m、n、p都是正整数）.如－a×am+1×am－1＝－a1+m+1+m－1＝－a2m+1.4、只有同底数的幂相乘时才能运用这个法则，千万不要出现形如y5×(－y4)＝y9的这类错误，因为这里的两个底数并不相同.5、法则am×an＝am+n还可以逆向使用，即可以写成am+n＝am×an，如y7＝y2+5＝y2×y5；又如20052005200520055451421145145＝－＝－＝－1.（二）幂的乘方1，幂的乘方的法则是：幂的乘方，底数不变，指数相乘.用字母可以表示为：(am)n＝amn（m、n都是正整数）.这个法则的最大特点就是将原来的乘方运算降次为乘法运算，即底数不变，指数相乘.2，同样这个法则也可以进行逆向运用，即amn＝(am)n＝(an)m.（三）积的乘方1、积的乘方的法则是：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.用字母可以表示为：(a×b)n＝an×bn（n是正整数）.2、法则可以推广使，即对于三个或三个以上的因式的积的乘方也适用这一法则.3、可以逆向运用这个法则，即an×bn＝(a×b)n.（四）同底数幂的除法-2-1、同底数幂的除法的法则是：同底数幂相除，底数不变，指数相减.用字母可以表示为：am÷an＝am－n（a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）.可见这个法则成立的条件是：同底数幂相除，结论是：底数不变，指数相减.2、法则中的底数a要不等于0，因为若a＝0了，则除数为0，除法就没有意义了，另外，法则中不说零指数和负指数的概念，所以在这个法则必须规定m、n都是正整数，且m＞n.3、法则也可以推广运用，即am÷an÷ap＝am－n－p（m、n、p都是正整数，m＞n＞p）.如7272143333381.2222216（五）四个运算法则的异同点四个运算法则既有相同点又有不同点.它们的共同点是：①运算时底数不变，只对指数运算；②表达式中的底数具有普遍性，既可以是一个具体的数，也可以是一个单项式或多项式；③指数都是正整数.它们的不同点是：①同底数的幂相乘的指数是相加，而同底数的幂相除的指数是相减；②幂的乘方是指数相乘；③积的乘方是将每一个因式分别乘方.《整式的乘除》复习指导在初一上学期，我们学习了合并同类项。这就是整式加减法的基础，本章就是继合并同类项之后，进一步研究关于整式的第一级运算——整式的加减法和第二级运算——整式的乘除法。一、知识要点对于本章知识的学习，应达到以下要求：1、掌握幂的运算性质，会用它们进行运算；2、掌握单项式运算以及多项式运算的法则，会用它们进行运算；3、灵活运用乘法公式，熟练使用它们解题；4、会进行整式的加、减、乘、除、单项式的乘方等混合运算；灵活使用运算律与各种公式进行简便运算.二、知识结构幂的运算性质是整式乘除法的基础，它是单项式乘除法、多项式乘除法以及使用乘法-3-公式运算的必备知识；其中，单项式乘除法又是多项式乘除法运算的知识基础.它们之间的关系可有下面的知识结构图来表示：三、基础知识学习本章包括幂的运算性质、单项式乘除法、多项式乘除法、乘法公式五部分内容.其中，乘法公式是重点.1、幂的运算重要知识点有：（1）同底数幂的乘法：am·an=am+n(m,n为正整数)；（2）幂的乘方：(am)n=amn(m,n为正整数)；（3）积的乘方：(ab)n=an·bn(n为正整数)；2、整式乘法重要知识点有：（1）单项式乘以单项式；（2）单项式与多项式相乘；（3）多项式与多项式相乘；3、乘法公式重要知识点有：（1）平方差公式：(a+b)(a－b)=a2－b2；（2）和的完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；（3）差的完全平方公式：(a－b)2=a2－2ab+b2.4、整式除法重要知识点有：（1）同底数幂的除法：am÷an=am－n(a≠0,m,n为正整数，并且m＞n)；（2）单项式除以单项式；（3）多项式除以单项式.四、重点提示同底数幂乘法幂的乘方积的乘方同底数幂除法法单项式乘以单项式单项式乘以多项式多项式乘以多项式乘法公式单项式除以单项式多项式除以单项式整式乘法整式除法整式的乘除-4-需要说明的是，有很多内容是通过本章知识派生出的，对于它们也应充分注意，比如：1、在多项式乘法中，含有一个相同字母的两个一次二项式相乘，得到的积是同一个字母的二次三项式.如果用a,b分别表示含有一个系数是1的相同字母的两个一次二项式中的常数项，则有公式：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab（*）.这个公式对于解此类多项式乘法的计算题，是非常有效的.2、对同底数幂除法的运算性质am÷an=am－n(a≠0,m,n为正整数，并且m＞n)的拓展。当指数相同时，则有an÷an=an－n=a0=1，从而解释了“任何不等于0的数的0次幂都等于1”的规定，同时，又将同底数幂除法的运算性质中m＞n的条件扩大为m≥n；而当m＜n时，仍然使用am÷an=am－n，则m－n＜0，便出现了负指数幂a－p=1ap(a≠0,p为正整数)；至此，同底数幂除法的运算性质am÷an=am－n的适用范围中，已不必在过分的强调m、n之间的大小关系，m、n的值也由正整数扩大到全体整数了.3、同底数幂的乘法与除法性质的出现，进一步补充和完善了科学记数法的使用.尤其是负指数幂的应用，使表示微观世界的物体特征变得简便易行.五、思想方法1、转化的数学思想方法：我们可以用转化思想来寻求平方差公式、完全平方公式以及公式（*）之间的关系.对于公式（*）而言，当b=－a时，则有：(x+a)(x－a)=x2+(a－a)x+a(－a)=x2－a2此即平方差公式；当b=a时，(x+a)(x+a)=x2+(a+a)x+a·a，即(x+a)2=x2+2ax+a2此即完全平方公式.若以和的完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2为原型，当把b改为－b时，公式变为：(a－b)2=a2+2a(－b)+(－b)2=a2－2ab+b2此即差的完全平方公式.在这些变形中，我们能很好的认识到事物在特定条件下可以相互转化的辩证关系，从而把不同的知识内容统一起来.2、“特殊——一般——特殊”的思想方法：课本中，很多知识的得出，都是先举出一些具体的例子，然后找出它们的共同特征，加以推广，概括出一般化的结论，再把所得结论应用于具体的解题过程中。比如，在学习同底数幂的乘法时，教材先以两个具体的例子，作为-5-出发点：根据乘方的意义，得102×103=（10×10）（10×10×10）=10×10×10×10×10=105；103×105=（10×10×10）（10×10×10×10×10）=10×10×10×10×10×10×10×10=108105×104=（10×10×10×10×10）（10×10×10×10）=10×10×10×10×10×10×10×10×10=109由此总结出102×103=102+3；103×105=103+5；105×104=105+4若用字母a表示任意底数，则有a2·a3=(aa)(aaa)=aaaaa=a5.也就是a2·a3=a5.进一步推广，用字母m,n表示任意正整数，那么即am·an=am+n(m,n为正整数).这就是说，同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。然后，将此结论用于解题中。这种从个体中总结规律，再应用于实践的思维过程，是科学研究中经常使用的。-6-整式乘除考点精析《整式的乘除与因式分解》一章的内容是中考命题的热点，现结合2009年的中考试题进行归类赏析，希望对同学们有所帮助.考点一、幂的运算性质例1（2009年湘西自治州）在下列运算中，计算正确的是（）A．326aaaB．235()aaC．824aaaD．2224()abab解析：由同底数幂相乘，底数不变，指数相加得a3·a2=a3+2=a5，由幂的乘方公式（am）n=amn（m、n都是正整数）可知，(a2)3=a6，由同底数幂相除，底数不变，指数相减得a8÷a2=a8－2=a6，用积的乘方公式（ab）n=anbn（n为正整数）求解，得2224()abab，所以答案为D.说明：幂的运算是整式乘除的基础，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法等运算，熟练掌握运算法则是解决此类问题的关键.考点二、整式的乘除例2（1）(2009年贺州市)计算：31(2)(1)4aa=．（2）(2009年重庆市)计算322xx的结果是（）A．xB．2xC．52xD．62x解析：问题（1）是单项式乘以多项式，注意用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.原式=(－2a)×(41a3)+(－2a)×(－1）=4122aa.问题（2）是单项式相除，注意把系数与同底数幂分别相除作为商的因式.原式=（2÷1）×（x3÷x2）=2x3－2=2x.故答案为B．说明：单项式的乘除是整式乘除的关键，多项式乘（除以）单项式、多项式乘多项式都要转化为单项式的乘除来运算.考点三、乘法公式例3（1）(2009年白银市)当31xy、时，代数式2()()xyxyy的值是．（2）(2009年十堰市)已知：a+b=3，ab=2，求a2+b2的值.解析：问题（1）主要是对乘法的平方差公式的考查.原式=x2－y2+y2=x2=32=9.问题-7-（2）考查了完全平方公式的变形应用，∵2222)(bababa，∴52232)(2222abbaba.说明：乘法公式应用极为广泛，理解公式的本质，把握公式的特征，熟练灵活地使用乘法公式，可以使运算变得简单快捷，事半功倍.考点四、因式分解例4（1）(2009年本溪市)分解因式：29xyx．（2）(2009年锦州市)分解因式：a2b－2ab2+b3=____________________.解析：因式分解的一般步骤是：若多项式的各项有公因式，就先提公因式，然后观察剩下因式的特征，如果剩下的因式是二项式，则尝试运用平方差公式；如果剩下的因式是三项式，则尝试运用完全平方公式继续分解.（1）29xyxx(y2－9)=(3)(3)xyy．（2）a2b－2ab2+b3=b(a2－2ab+b2)=b(a－b)2．说明：分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.练习：1.(2009年宁德市)下列运算正确的是（）A．651aaB．235()aaC．632aaaD．532aaa2.(2009年黄冈市)计算：23913xx=________．3.（2009年长沙市）化简:22()()()2abababa.4.（2009年嘉兴市）因式分解：)(3)(2yxyx．5.(2009年内江市)分解因式：_____________223xxx.参考答案：1.D2.35x3.原式2222222abaabba2ab4.)3)((yxyx5.－x(x+1)2