《信号与系统》复习题及答案

1函数ttcose2的单边拉氏变换为（1)2(2j21j21212ssss）。象函数2e1)(ssFs的拉氏反变换为（)1(e)(e)()1(22tttftt）。序列)3()3()(nnnf的z变换为（）。电信号系统分连续系统、（离散系统）、（混合系统）、串联系统、并联系统、反馈系统按响应的不同起因响应分为（储能响应）和（受激响应）；卷积交换律是（f1(t)f2(t)=f2(t)f1(t)）卷积结合律是（f1(t)[f2(t)f3(t)]=[f1(t)f2(t)]f3(t)）卷积分配律是（[f1(t)+f2(t)]f3(t)=f1(t)f3(t)+f2(t)f3(t)）信号的带宽与信号的持续时间（脉冲宽度）成（反比）。f(t)为实偶函数，F()为（实偶函数）；f(t)为奇函数，F()为（纯虚函数）；f(t)为非奇非偶函数，F()为（复函数）；H(s)的零点只影响h(t)的（幅度）和相位,H(s)的极点才决定（时域特性的变化模式）。H(s)分子多项式N(s)=0的根叫零点。H(s)分母多项式D(s)=0的根叫极点。极点位于S平面原点，h(t)对应为（阶跃）函数；极点位于S平面负实轴上，h(t)对应为（衰减指数）函数；共轭极点位于虚轴上，h(t)对应为（正弦振荡）；共轭极点位于S的左半平面，h(t)对应为（衰减的正弦振荡）；在零状态条件下，由单位序列(n)引起的响应称为（单位）响应，记为（h(n))。仅在离散时刻有定义的信号叫（离散时间）信号：。H(s)在虚轴上有单极点，其余极点均在S的左半平面时，系统处于（临界稳定）H(s)只要有一个极点位于S的右半平面，系统处于（不稳定）。H(s)为系统（冲激响应）的拉氏变换。H(s)是一个实系数有理分式，它决定了系统的（特征根）（固有频率）；具有新内容、新知识的消息叫（信息）。时不变系统是系统的（元件参数）不随时间变化，或系统的方程为（常系数）。因果系统是在（激励信号）作用之前系统不产生（响应）。解调是（从已被调制的信号中恢复原信号）的过程系统函数H(s)是零状态（响应的象函数）与（输入信号的象函数）之比信号（signal）：物质的运动形式或状态的变化。（声、光、电、力、振动、流量、温度……）系统（system）：由若干相互联系、相互作用的单元组成的具有一定功能的整体。零输入响应（储能响应）：从观察的初始时刻起不再施加输入信号，仅由该时刻系统本身的起始储能状态引起的响应称为零输入响应（ZIR）。零状态响应（受迫响应）：当系统的储能状态为零时，由外加激励信号（输入）产生的响应称为零状态响应（ZSR）。阶跃响应：LTI系统在零状态下，由单位阶跃信号引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为s(t)。冲激响应：储能状态为零的系统，在单位冲激信号作用下产生的零状态响应称为冲激响应，记为h(t)。8-5试用卷和定理证明以下关系：(a))()()(mnfmnnf(b))()1()()(nnnn证明(a)因由卷和定理mzzFmnnf)()()(而)()(zFzmnfm故得)()()(mnfmnnf2232)1(1)1()(zzzzzzF2(b)因为22)1(11)()(zzzzzznn而222)1(1)1()()()()1(zzzzzznnnnn所以)()1()()(nnnn1-4、1-8、2-1、2-2、2-15、3-1、3-2、3-4、3-7、4-1、4-3、4-4、4-7、5-6、5-7、5-8、7-6、7-7、7-81-4如题1-4图示系统由加法器、积分器和放大量为a的放大器三个子系统组成，系统属于何种联接形式？试写出该系统的微分方程。题1-4图解系统为反馈联接形式。设加法器的输出为x(t)，由于)()()()(tyatftx且)()(,d)()(tytxttxty故有)()()(taytfty即)()()(tftayty1-8若有线性时不变系统的方程为)()()(tftayty若在非零f(t)作用下其响应ttye1)(，试求方程)()(2)()(tftftayty的响应。3解因为f(t)ttye1)(，由线性关系，则)e1(2)(2)(2ttytf由线性系统的微分特性，有ttytfe)()(故响应ttttytftfe2e)e1(2)()()(22-1如图2-1所示系统，试以uC(t)为输出列出其微分方程。题2-1图解由图示，有tuCRuiddCCL又ttuuLi0CSLd)(1故CCCS)(1uCRuuuL从而得)(1)(1)(1)(SCCCtuLCtuLCtuRCtu2-2设有二阶系统方程0)(4)(4)(tytyty在某起始状态下的0+起始值为2)0(,1)0(yy试求零输入响应。解由特征方程2+4+4=0得1=2=24则零输入响应形式为tetAAty221zi)()(由于yzi(0+)=A1=12A1+A2=2所以A2=4故有0,)41()(2zitettyt2-15一线性时不变系统，在某起始状态下，已知当输入f(t)=(t)时，全响应y1(t)=3e3t(t)；当输入f(t)=(t)时，全响应y2(t)=e3t(t)，试求该系统的冲激响应h(t)。解因为零状态响应(t)s(t)，(t)s(t)故有y1(t)=yzi(t)+s(t)=3e3t(t)y2(t)=yzi(t)s(t)=e3t(t)从而有y1(t)y2(t)=2s(t)=2e3t(t)即s(t)=e3t(t)故冲激响应h(t)=s(t)=(t)3e3t(t)3-1求题3-1图所示周期信号的三角形式的傅里叶级数表示式。题3-1图解对于周期锯齿波信号，在周期(0，T)内可表示为tTAtf)(系数52d1d)(1000AtTAtTttfTaTTTTttntTAttntfTa01201ndcos2dcos)(20sin20112TntntTATTttntTAttntfTAb01201ndsin2dsin)(2πcos20112nAntntTAT所以三角级数为11sinπ2)(ntnnAAtf3-2如图所示周期矩形波信号，试求其复指数形式的傅里叶级数。图中2T。题3-2图解：该信号周期2T，故T21，在一个周期内可得：1001)(22121jnjntjntjnneenjAjnAdtAedtAeF,4,20,3,12)cos1(cosnnjnAnjnAnjnAjnA因为)(tf为奇函数，故00F，从而有指数形式：3-4求题3-4图示信号的傅里叶变换。,3,1,2)(nejnAtftjnn6题3-4图解(a)因为tt,t,0为奇函数，故tttFdsin2j)(0]cos[sin2j2)](Sa[cos2j或用微分定理求解亦可。(b)f(t)为奇函数，故ttFdsin)1(2j)(0)2(sin4j]1[cosj22若用微分-积分定理求解，可先求出f(t)，即f(t)=(t+)+(t)2(t)所以2cos22ee)j()(jj1Ftf又因为F1(0)=0，故)1(cosj2)(j1)(1FF3-7试求信号f(t)=1+2cost+3cos3t的傅里叶变换。解因为12()2cost2[(1)+(+1)]3cos3t3[(3)+(+3)]故有F()=2[()+(1)+(+1)]+3[(3)+(+3)]4-3设系统的频率特性为f(t)=72j2)(H试用频域法求系统的冲激响应和阶跃响应。解冲激响应，故)(e2)]([)(21tHthtF而阶跃响应频域函数应为2j2]j1)(π[)()]([)(HtSF2j2j1)(π2j1j1)(π所以阶跃响应)()e1()(2ttst4-4如题图4-4所示是一个实际的信号加工系统，试写出系统的频率特性H(j)。题4-4图解由图可知输出ttttftfty00d)]()([)(取上式的傅氏变换，得)e1(j)()(0jtFY故频率特性)e1(j1)()()(0jtFYH4-7设f(t)为调制信号，其频谱F()如题图4-7所示，cos0t为高频载波，则广播发射的调幅信号x(t)可表示为x(t)=A[1+mf(t)]cos0t式中，m为调制系数。试求x(t)的频谱，并大致画出其图形。8题4-7图解因为调幅信号x(t)=Acos0t+mAf(t)cos0t故其变换)]()([2)]()([π)(0000FFmAAX式中，F()为f(t)的频谱。x(t)的频谱图如图p4-7所示。图p4-74-1设信号f(t)的频谱F()如题4-10图(a)所示，当该信号通过图(b)系统后，证明y(t)恢复为f(t)。题4-10图证明因为)2(e)(112j1Ftft故通过高通滤波器后，频谱F1()为)2()2()()(111FFHF所以输出X()F()F()j21t9)()22()()(11FFYty即y(t)包含了f(t)的全部信息F()，故恢复了f(t)。5-6设系统微分方程为)()(2)(3)(4)(tftftytyty已知)(e)(,1)0(,1)0(2ttfyyt。试用s域方法求零输入响应和零状态响应。解对系统方程取拉氏变换，得)()(2)(3)0(4)(4)0()0()(2sFssFsYyssYysysYs从而)(341234)0(4)0()0()(22sFsssssyysysY由于21)(ssF故)()34)(2(12)(345)(zs2zi2sYsssssYssssY求反变换得ttty3zie25e27)(tttty32zse253ee21)(全响应为0,e5e3e3)(32ttyttt5-7设某LTI系统的微分方程为)(3)(6)(5)(tftytyty试求其冲激响应和阶跃响应。解对方程取拉氏变换，得系统函数)3)(2(3653)(2sssssH当f(t)=(t)时，F(s)=1，得)3)(2(3)()(sssHsY10从而0,e3e3)(32tthtt当f(t)=(t)时，ssF1)(，得)3)(2(3)(1)(ssssHssY3125.15.0sss故得0,ee5.15.0)()(32ttstytt5-8试求题5-8图示电路中的电压u(t)。题5-8图解对应的s域模型如图p5-8所示，则422)22(221)22(22)()()(2ssssssssssssFsUsH而ssF1)(，故有222)3()1(2422)()()(ssssHsFsU所以0,V)(3sine32)(