《最优估计与系统建模》练习题003

《最优估计与系统建模》练习题003各位同学：本次练习属于概率论的复习题。我有意识地收集了这些题，增加了随机变量的特征函数等内容，目的是向大家扩大一些知识点。周国标1.已知两个连续型的随机变量,XY的概率密度函数分别为(),()fxfy，求它们的乘积ZXY的概率密度函数的表达式。（请大家注意：随机变量的记号与它们的概率密度函数中的自变量,xy代表完全不同的含义，变量性质也不同。但在我们的课程中，为了简化表达形式，常采用相同的记号。因此要理解上下文中符号的意义）2.设,XY是零均值的联合正态随机变量，22xEX，22(),()yxyEYEXY。试证明给定Xx后，Y的条件概率密度为2222[(/)]1(|)exp2(1)21yxyyyxfyx。3.有三个连续随机变量,,XYW，证明条件概率密度函数之间满足(|,)(|)(,|)fwxyfxyfwxy。4.随机变量,XY满足lnYX，若Y是正态随机变量，则称随机变量X按对数正态分布。设Y是均值和方差分别为2,m的正态随机变量。证明：（1）对数正态概率密度函数可表示为21ln()exp,022xmfxxx；（2）X得一阶矩和二阶矩分别为2exp2EXm；22exp(22)EXm。5.n个统计独立且分布相同的随机变量12,,,nXXX，每个变量的概率分布函数和概率密度函数分别为(),()Fxfx。定义随机变量12max{,,,}nYXXX，证明Y的概率密度函数为1()()()npynFyfy。若()(0)xfxex，则Y的概率密度函数等于什么？6.随机变量X的特征函数定义为（请注意与Fourier变换的区别）：()()()djxixCjEefxex，其中()fx是随机变量X的概率密度函数。两个随机变量,XY的特征函数定义为（请注意与两维Fouier变换的区别）：(,Cjj(,)(,)ddjxjyCjjfxyeexy。证明：若,XY统计独立，则ZXY的特征函数为()()()zxyCjCjCj。7.设X是均值和方差分别为2,m的正态随机变量，证明：（1）X的特征函数为22()exp2Cjjm；（2）通过2dex关于连续球导数，其偶次中心矩为()135(1),kkExmkk为偶数；而奇次中心矩为零。8.假定随机变量,1,2,,iXin统计独立，有均值im和方差2i。（1）定义样本平均为11niiXXn，证明其均值和方差分别为11niimn和2211niin；（2）假定各iX位同分布的正态随机变量，均值皆为零。X的概率密度函数是什么？是正态变量吗？（3）假定各iX位同分布的指数随机变量，即1()()exp,,0xafxxa，那么X是指数分布吗？它的特征函数是什么？能从特征函数看出X的分布形式吗？9.假定题8中各随机变量iX不独立，且有2||[()()]ijiijjEXmXm，证明：样本平均的方差可表示为212012(1)niiiVarXnnn。