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北京市第七中学教案课题名称13.4最短路径问题授课时间2014年12月4日授课教师刘学弟授课地点三层演播室教学目标知识与技能能利用所学轴对称的知识解决简单的最短路径问题过程与方法在探索最短路径的过程中，培养学生的探究能力、数学归纳能力，分析问题、解决问题的能力情感态度与价值观在探索最短路径的过程中，让学生感悟转化的思想，获得成功的体验教学重点利用轴对称变换解决线段和的最小值问题.教学难点最短路径问题中位置的确定及说理教学方法引导发现法教学媒体多媒体作业诊断p57、书P93-15教学环节师生活动教学意图活动一：引入课题课间操，我们要从2号门出教学楼，从3号门进入操场，（如图）只考虑距离的长短，你会选择那条路？为什么？（如图）测量跳远成绩，运用的是我们学过的什么数学知识？我们称这类问题为最短路径的问题（书写课题），现实生活中经常涉及选择最短路径的问题，我们先看问题1.利用生活实例引入课题，激发学生的学习兴趣活动二：新课讲授问题1：如图，某天然气公司分别要向两个新建住宅小区提供天然气，需要在主天然气管道上修建一个供气站，问供气站修在主管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？师：你能将这个实际问题抽象为数学问题吗？生：将两个小区抽象为两个点A、B，将主天然气管道抽象为直线l，在直线l上找一点P，使得PA+PB最小。师：你的做法是什么？为什么？生：连接AB与直线l交于点P,两点之间线段最短。师：为什么直线l上的其他点不符合要求呢？（几何画板）生：三角形中两边之和大于第三边。师：非常好，这个问题我们利用“两点之间线段最短”轻而易举地解决了。（随着房地产的不断开发，新建小区层出不穷，天然气公司又遇到了新的问题）问题2：如图所示，问供气站修在主管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？师：要解决这个实际问题，我们应该先怎么做？生：先将实际问题转化为数学问题。师：让有想法的同学上黑板画图，之后小组讨论那种方法正确，并请同学上来说明理由。师：教师点评，并提问，能转化另一个点解决问题吗？追让学生将实际问题抽象成数学问题，为学生搭建台阶，为学生探究问题2提供“脚手架”.让学生重温解决实际问题的步骤并将“同侧”难于解决的问题转化为“异侧”容易解决的问题，渗透转化思想LABLBA活动三：巩固练习问：得到的是同一个点吗？你能用所学的知识证明你的结论吗？教师引导在直线l上任取一点P’，师生共同分析，并给出证明过程证明：如图，在直线l上任取一点P′（与点P不重合），连接AP′，BP′，B′P′．由轴对称的性质知，BP=B′P，BP′=B′P′．在△AB′C′中，AP′+B′P′AB′，∴AP′+BP′AP+BP．即AP+BP最短．教师追问：为什么任取一点P′（与点P不重合），意义是什么？师生达成共识：若直线l上任意一点（与点P不重合）与A、B的距离之和都大于AP+BP，就说明AP+BP最小。师生共同小结：我们利用做对称点（轴对称变换）将直线同侧两点的情况转化为较为简单的直线异侧两点的情况，利用“两点之间线段最短”可以将“折”的线转化为“直”的线。练习1、如图，直线L是一条河，P、Q是两个村庄，欲在L上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）让学生进一步体会做法的正确性，提高逻辑思维能力让学生在反思的过程中，体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验LLLLDCBAMMMMPQQPQPQP活动四：小结练习2：如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．思考1：已知如图，点A和两条直线m和n，你能在直线m、n上分别找一点P、Q，使得AP+PQ+AQ的值最小吗？思考2:已知如图，点A、点B和两条直线m和L，你还能在直线m、L上分别找一点P、Q，使得AP+PQ+BQ的值最小吗？本节课你学到了什么？用到了什么数学思想？让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法两道思考题是课堂备用题一方面检测学生是否真正领悟了本节课所学的知识和方法，另一方面让学有余力的孩子的课堂更充实板书设计13.4最短路径问题基本图形原理：两点之间，线段最短.方法：同侧—〉异侧“折”—〉“直”nmAaPBALmABaPPB'ABaPPA'AB