《有理数》综合复习指导

-1-《有理数》综合复习指导一、知识归纳（一）基本概念（1）画数轴应体现其“三要素”，即，，（2）叫相反数；叫绝对值；（4）数的绝对值是它本身，数的绝对值是它的相反数；如果a与b互为相反数，那么；如果ab=1，那么a、b的关系是（5）叫做乘方，乘方的结果叫（7）两个负数比较大小，大的数反而小；数轴上右边的点所表示的数左边的点所表示的数（8）探索数的规律时，首先应从特殊入手，进行归纳、，对于获得的结论，还要或它的正确性（二）基本运算1．有理数的运算要注意：有理数的运算种类、各种运算法则、运算律、运算顺序、科学计数法、近似数与有效数字、计算器功能鍵及应用。2．有理数的运算律：①加法交换律a+b＝b+a②加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)③乘法交换律ab＝ba．④乘法结合律(ab)c=a(bc)⑤分配律a(b+c)=ab+ac其中a、b、c表示任意有理数．运用运算律有时可使运算简便．二、易、错点扫描1．有理数常见思维误区（1）对正、负数的理解有误，如：a一定表示正数，-a一定表示负数（2）有理数的分类问题，易把小数作为单独的一类，不知道有限和无限循环小数可以转-2-化为分数2．数轴、相反数、绝对值常见思维误区主要是对三概念的理解有误，应用也容易出错3．有理数的运算常见思维误区（1）对几种运算法则理解不到位；（2）符号易出现错误；（3）运算顺序、运算性质易错；（4）滥用运算律等错误五、思想方法归纳为了深刻理解新的数学概念，新教材渗透了不少的数学思想和方法．1、数形结合的思想在学习数轴后知道了数可以用数轴上的点来表示，反之数轴上的点也表示数，相反数的几何意义是：在数轴上位于原点的两旁，并且与原点的距离相等的两点表示的数叫互为相反数．绝对值的几何意义是：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值．这种形象与抽象的结合，加深了同学们对相反数、绝对值等概念的认识和理解，也为今后的学习奠定了基础．2．转化的思想方法第二章中的关于有理数减法和除法法则分别是减去一个数等于加上这个数的相反数；除以一个数等于乘以这个数的倒数，这两条法则充分体现了数学中的转化思想，即将未知问题转化为已知问题来解决．3．分类的思想方法在学习有理数、绝对值概念时，都体现了分类的思想方法，即负整数正整数整数负分数正分数分数有理数0aaa0(a=0)(a0)(a0)-3-有了分类思想，根据“不重不漏”的分类原则去处理问题，能使思维变得更严密，考虑问题更全面。例如，若a＞0，b＜0，则a+b0。就必须讨论（1）当a＞b时，a+b＞0；当a=b时，a+b=0；当a＜b时，a+b＜0．六、考点解密考点1：正、负数例1下列运算的结果中，是正数的是（）A.12007B.20071C.12007D.20072007分析：本题主要考查符号法则，只要简单的观察分析一下就能知道结果解：A，B都是乘方运算，结果为负，C，D是乘、除运算，C为正，故选C评注：本题主要考查有理数运算的符号法则，主要考查同学们的观察能力，分析发现能力考点2：相反数与倒数例2．12的相反数是，倒数是，平方等于．分析：只要严格按照定义去计算即可，但要注意符号变化解：12的相反数是12；倒数是-2；平方是14评注：本题重点考查相反数、倒数和平方的概念与计算问题，在计算的时候容易出现符号错误，应引起同学们的重视！考点3：数轴例3．如图1，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C．若点C表示的数为1，则点A表示的数为（）Ａ．7Ｂ．3Ｃ．3Ｄ．2分析：本题只要按照题目要求，分别将距离转化为数字，最后就能求出A表示的数解：由AA向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C，说明A到C的距离是3个单位，又由于点C表示的数为1，所以A表示的数是-2，故选D10A2B5C图1-4-评注：本题主要考查数轴的有关知识，数形结合的数学思想方法以及转化的思想，重要注意转化，问题就能迎刃而解考点4：绝对值例4．-12的绝对值等于()(A)-2(B)2(C)-12(D)12分析：根据负数的绝对值是它的相反数的法则就可以解决问题了解：因为-12是负数，所以-12的绝对值等于12，故选D评注：本题重点考查绝对值与相反数的有关知识，只要熟练理解与掌握即可，但要注意区别！考点5：有理数大小比较例5．下列各数中，最小．．的数是（）A．－2B．－1C．0D．p分析：先判断数的属性，在比较其大小解：A，B都是负数，又由于正数和零都大于负数，所以只要比较A，B，又由于两个负数比较，绝对值大的反而小，所以-2＜-1，故选A评注：本题主要考查有理数的大小比较问题，只要按照正数和零都大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小的法则进行考点6：有理数的运算例6．下列计算结果为1的是（A）(＋1)＋(－2)（B）(－1)－(－2)（C）(＋1)×(－1)（D）(－2)÷(＋2)分析：将四个简单的算式分别计算出结果，再进行选择即可解：由于（-1）-（-2）=-1+2=1，故选B评注：重点考查加、减、乘、除的运算法则的理解和掌握，运算时，要注意符号问题，特别是减法运算易出错！输入x输出y平方乘以2减去4若结果大于0否则-5-例7根据如图3所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为。分析：只要按照计算程序的一起，分步列式计算即可解：将1输入列式为：12×2-4=-2，结果不大于0，继续将-2输入，列式为：（-2）2×2-4=4，结果大于0，故输出y=4评注：本题以计算程序的输入、输出为背景，主要考查学生的阅读与计算能力考点7：定义新运算、新规则例8．先阅读下列材料，然后解答问题：从ABC，，三张卡片中选两张，有三种不同选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素组合，记作2332C321．一般地，从m个元素中选取n个元素组合，记作：(1)(1)C(1)321nmmmmnnn例：从7个元素中选5个元素，共有5776543C2154321种不同的选法．问题：从某学习小组10人中选取3人参加活动，不同的选法共有种．分析：根据阅读材料的提示和例子，将新的预示规则转化为常规计算即可解：由阅读可知：10人中选取3人，共有3101098C120321创==创评注：本题是一道以新定义、新规定为背景的阅读理解题，解题时需要将未知转化为已知，再按照新规则进行计算即可考点8：有理数的实际运用例92008年8月第29届奥运会将在北京开幕，5个城市的国标标准时间（单位：时）在数轴上表示如图5所示，那么北京时间2008年8月8日20时应是（）Ａ．伦敦时间2008年8月8日11时Ｂ．巴黎时间2008年8月8日13时Ｃ．纽约时间2008年8月8日5时Ｄ．汉城时间2008年8月8日19时北京汉城巴黎伦敦纽约50189图3图5-6-分析：由数轴显示的信息，很容易得到北京与其余五个城市的关系解：由于北京东八区，而和、巴黎在东一区，相差7个时区，故选B评注：本题是一道数轴在实际生活中的应用，重点考查学生对数轴及时差概念的理解和掌握情况，考查了数形结合的思想以及分析问题、解决问题的能力考点9：规律探索例10为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图6所示：按照上面的规律，摆n个“金鱼”需用火柴棒的根数为（）A．26nB．86nC．44nD．8n分析：本题的探索规律可以从两个方面去分析：第一，可以从“数”的方面，图①有8个；图②有14个；……找规律；第二，从“形”的方面，后一个图都比前面图都6个，从而找出规律来解：由于图①有8个；后一个图都比前面图都6个，所以应该是26n，故选A评注：本题通过观察组成各种“金鱼”图案之间的关系探索规律的，这就需要同学们仔细观察图形，找出各种数量之间的变化规律，从而找到它们的共同的表达式考点10：综合运用例11．根据以下10个乘积，回答问题：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2－○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；（3）试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论．（不要求证明）分析：通过观察会发现数字规律，然后排序、验证，最后猜想结果解：⑴11×29＝202－92；12×28＝202－82；13×27＝202－72；14×26＝202－62；15×25＝202－52；16×24＝202－42；……①②③图6-7-17×23＝202－32；18×22＝202－22；19×21＝202－12；20×20＝202－02．例如，11×29；假设11×29=□2－○2，因为□2－○2=（□＋○）（□－○）；所以，可以令□－○＝11，□＋○＝29．解得，□＝20，○＝9．故229202911．（或11×29＝（20－9）（20＋9）=202－92．⑵这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：1129122813271426152516241723182219212020．⑶①若40ba，a，b是自然数，则ab≤202＝400．②若a＋b＝40，则ab≤202＝400．③若a＋b＝m，a，b是自然数，则ab≤22m．④若a＋b＝m，则ab≤22m．⑤若a1＋b1＝a2＋b2＝a3＋b3＝…＝an＋bn＝40．且|a1－b1|≥|a2－b2|≥|a3－b3|≥…≥|an－bn|，则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn．⑥若a1＋b1＝a2＋b2＝a3＋b3＝…＝an＋bn＝m．且|a1－b1|≥|a2－b2|≥|a3－b3|≥…≥|an－bn|，则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn．评注：这是一道以数字规律为背景的综合题，它先通过观察数字的规律，然后归纳、猜想，最后总结出一般性的规律以及思维过程，最后再验证规律的正确性-8-再谈有理数的混合运算运算是我们必须掌握的一项基本功，而有理数的运算则是运算的基本功，它既是《有理数》一章的学习重点，也是难点.在复习阶段，要提高有理数混合运算的准确性和简捷性，必须从以下三个方面入手.一、注意符号自从有了负数，符号就与运算有了不解之缘，在运算时，首先要注意符号的确定.例1.计算：－14＋56＋23－12.分析：本题是一道有理数加减混合运算题，在交换加数的位置时，应带着该加数的符号一起交换.解：原式=－14－12＋56＋23=－34＋96=34.评注：每个数都包括它前面的符号，符号与数是一个有机的整体，在运算时，千万不要忽略了数的性质符号.例2.计算：－41－16×[2－（－3）2].分析：在计算本题中的两个乘方运算时，要特别注意符号，－41=－1，而不是1，（－3）2=9，而不是－9.解：原式=－1－16×（2－9）=－1－16×（－7）=－1＋76=16.评注：在进行乘方运算时，要特别注意(1)n与1n的不同.二、注意运算顺序与运算步骤有理数混合运算的顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减.如果有括号，就先算括号里面的.有理数的运算步骤是：对于每一个运算，都应先确定结果的符号，再计算结果的绝对值.即“符号先判断，绝对值后计算”.例3.计算：－81÷94×49÷（－16）.-9-分析：这是一道有理数乘除混合运算的题目，由于乘除是同级运算，应按从左到右的顺序依次进行.解：原式=－81×49×49×（－116）=1.评注：在计算本题时，如果你禁不住94×49=1的诱惑，来一个从中间开始算起，就违背了运算顺序的原则，必将导致失败！三、注意运算律的灵活应用有理数的运算律包括加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、乘法对加法的分配律.若能灵活、巧妙地运用它们，将使计算过程变得简捷.在具体运用时，主要有以下几种技巧：（1）相反数结合；（2）凑整结合；（3）正