《有限元基础教程》_【MATLAB算例】337三梁平面框架结构的有限元分析(Beam2D2Node)

【MATLAB算例】3.3.7(2)三梁平面框架结构的有限元分析(Beam2D2Node)如图3-19所示的框架结构，其顶端受均布力作用，结构中各个截面的参数都为：113.010PaE，746.510Im，426.810Am。试基于MATLAB平台求解该结构的节点位移以及支反力。图3-19框架结构受一均布力作用解答：对该问题进行有限元分析的过程如下。（1）结构的离散化与编号将该结构离散为3个单元，节点位移及单元编号如图3-20所示，有关节点和单元的信息见表3-5。（a）节点位移及单元编号（b）等效在节点上的外力图3-20单元划分、节点位移及节点上的外载（2）各个单元的描述首先在MATLAB环境下，输入弹性模量E、横截面积A、惯性矩I和长度L，然后针对单元1，单元2和单元3，分别二次调用函数Beam2D2Node_ElementStiffness，就可以得到单元的刚度矩阵k1(6×6)和k2(6×6)，且单元2和单元3的刚度矩阵相同。E=3E11;I=6.5E-7;A=6.8E-4;L1=1.44;L2=0.96;k1=Beam2D2Node_Stiffness(E,I,A,L1);k2=Beam2D2Node_Stiffness(E,I,A,L2);（3）建立整体刚度方程将单元2和单元3的刚度矩阵转换成整体坐标下的形式。由于该结构共有4个节点，则总共的自由度数为12，因此，结构总的刚度矩阵为KK(12×12)，对KK清零，然后两次调用函数Beam2D2Node_Assemble进行刚度矩阵的组装。T=[0,1,0,0,0,0;-1,0,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,-1,0,0;0,0,0,0,0,1];k3=T'*k2*T;KK=zeros(12,12);KK=Beam2D2Node_Assemble(KK,k1,1,2);KK=Beam2D2Node_Assemble(KK,k3,3,1);KK=Beam2D2Node_Assemble(KK,k3,4,2)KK=1.0e+008*1.443100.0127-1.416700-0.026400.012700002.13280.00560-0.00780.00560-2.125000000.01270.00560.01350-0.00560.0027-0.012700.0041000-1.4167001.443100.0127000-0.026400.01270-0.0078-0.005602.1328-0.00560000-2.1250000.00560.00270.0127-0.00560.0135000-0.012700.0041-0.02640-0.01270000.02640-0.01270000-2.1250000002.125000000.012700.0041000-0.012700.0081000000-0.02640-0.01270000.02640-0.01270000-2.1250000002.125000000.012700.0041000-0.012700.0081（4）边界条件的处理及刚度方程求解该问题的位移边界条件为0444333vuvu。因此，将针对节点1和节点2的位移进行求解，节点1和节点2的位移将对应KK矩阵中的前6行和前6列，则需从KK(12×12)中提出，置给k，然后生成对应的载荷列阵p，再采用高斯消去法进行求解。注意：MATLAB中的反斜线符号“\”就是采用高斯消去法。k=KK(1:6,1:6);p=[3000;-3000;-720;0;-3000;720];u=k\pu=0.0009-0.0000-0.00140.0009-0.0000-0.0000[将列排成了行]（5）支反力的计算在得到整个结构的节点位移后，由原整体刚度方程就可以计算出对应的支反力；先将上面得到的位移结果与位移边界条件的节点位移进行组合(注意位置关系)，可以得到整体的位移列阵U(12×1)，再代回原整体刚度方程，计算出所有的节点力P(12×1)，按式(3-180)的对应关系就可以找到对应的支反力。U=[u;0;0;0;0;0;0]U=0.0009-0.0000-0.00140.0009-0.0000-0.0000[将列排成了行]000000[将列排成了行]P=KK*UP=1.0e+003*3.0000-3.0000-0.72000.0000-3.00000.7200[将列排成了行]-0.66582.20120.6014-2.33423.79881.1283[将列排成了行]