《几何学》辅导纲要

《几何学》辅导纲要第一章公理化方法与非欧几何主要内容：1．几何学公理化方法的构造和原理及其作用、意义2．希尔伯特公理体系的结构3．公理系统的相容性、独立性和完备性4．罗氏几何和黎曼几何的数学模型重点掌握：1．公理法的三个基本问题是相容性问题、独立性问题、完备性问题。2.公理法的结构是原始概念的列举；定义的叙述；公理的叙述；定理的叙述和证明.3．三角形内角和等于180度与欧氏平行公理等价。4．欧氏几何与非欧几何的本质区别为平行公设不同。5．公理系统的完备性:如果公理系统的所有模型都是同构的，则称这个公理系统是完备的，或称其具有完备性。6．几何公理:公理是作为几何基础而本身不加证明的命题，是建立一种理论体系的少数思想规定。在几何演绎体系里，每条定理都要根据已知定理加以证明，而这些作为依据的定理又要根据另外的已知定理加以证明，如此步步追寻起来，过程是无止境的，必须适时而止。因此，需要选取一些不加证明的原始命题作为证明一切定理的基础，这就是公理。7．公理系统的相容性:一个公理系统及其一切推论不含有矛盾命题时，称这个公理系统是相容的或无矛盾的。8．欧几里得的第五公设：在一平面上如果直线l与另外两条直线ba,相交，有一侧的两个同侧内角,的和小于两直角，则直线a与b在同侧内角的和小于两直角的那一侧相交。bal9．公理法的基本思想：若干个原始概念（包括元素和关系）、定义和公理一起叫做一个公理体系，构成了一种几何的基础。全部元素的集合构成了这种几何的空间。在这个公理体系的基础上，每个概念都必须给出定义，每个命题都必须给出证明，原始概念、定义、公理和定理按照逻辑关系有次序地排列而构成命题系统——逻辑结构，这就是公理法思想。10．公理系统的独立性：如果一个公理系统中的某条公理不能由其余公理证明，即不时其余公理的推论，则称这条公理在公理系统中是独立的。如果一个公理系统中的没一条工理都是独立的，则称这个公理系统是独立的。第二章射影变换群与几何学主要内容：1．点变换的概念2．正交变换的不变性质与不变量3．相似变换的不变性质与不变量4．仿射变换的不变性质与不变量5．射影变换的不变性质与不变量6．非齐次坐标7．利用不变量对二次曲线进行分类8．利用不变量将二次曲线的一般方程化简为标准型重点掌握：1．仿射变换把平行线变成平行线，把正三角形变成三角形，把矩形变成平行四边形。2．设共线三点0,2,(2,0),(1,1)ABC，则()ACB2。4．共点的直线经仿射变换后变成共点的直线。5．不共线的点经仿射变换后变成不共线的点。6．在仿射对应下，单比不变。7．设点,,ABC共线，且在仿射变换下分别变成',','ABC，则',','ABC三点共线。8．正方形在仿射变换下变成平行四边形。9．对正方形，对边平行、对角线互相平分是仿射性质。10．线段的中点、交比、点偶的调和共轭性、两平行线段的比和对称中心都属于仿射性质。11．求一个仿射变换，它把抛物线22yx变成自身，把原点(0,0)变成点(2,2)。设所求的仿射变换为1112121222''xaxayayaxaya由它把（0，0）变成（2，2）可知122aa因为它把抛物线22yx变成自身，所以2111222122'22'22yxaayyyaay应满足2'2'yx，于是22221221112(2)2(2)22yyaayaay即4223222121222221221112(2)44244yaaayaayayayay比较方程两边的系数得221112212220,,2aaaaa令22a，则21112,2aa，因此所求的仿射变换为2'22'2xxyyy它依赖于参数。12．求出将点(2,3)变成点(0,1)的平移变换，在这个平移变换下，抛物线28180yxy变成什么曲线？设所求的平移变换为''xxayyb将已知对应点的坐标代入上式得0213ab于是2,4ab所以所求的平移变换为'2'4xxyy即'2'4xxyy将此变换用于所给的抛物线上2('4)('2)8('4)180yxy即2''0yx13．求出将点(3,1)变成点(1,3)的绕原点的旋转变换，再将所得的变换用于抛物线28180yxy上。设所求的旋转变换为'cossin'sincosxxyyxy则2于是所求的旋转变换为''xyyx即''xyyx将此变换用于所给的抛物线得2'8''180xxy。14．求仿射变换'71'424xxyyxy的二重直线。设所求的不变直线为0AxByC（,AB不同时为0）即在所给的变换下，0AxByC对应''0AxByC因为''(71)(424)(74)(2)(4)AxByCAxyBxyCABxAByABC所以74(1)2(2)4(3)ABAABBABCC消去,,ABC得7401200141展开化简得(1)(7)(2)4(1)0解得1,3,6由于当1时，0AB，因此不对应不变直线，分别将3,6代入（1），（2），（3）得3,2ABCB和4,0ABC所以不变直线为2230xy和40xy15．若存在，求下列各点的非齐次坐标(1)(0,5,6)，(2)(1,8,0)).1(存在，设)6,5,0(),,(321xxx，则这个点的非齐次坐标为)65,0(),(),(3231xxxxyx。).2(不存在，因为无穷远点没有非齐次坐标。16．证明：使向量内积保持不变的仿射变换是正交变换。设在使二向量内积不变的仿射变换下，点A变成点A，点B变成点B，则),(),(2222BAdABABABBABABABAd所以),(),(BAdBAd（d表示两点间的距离）。由于这个变换保持两点间的距离不变，因此它是正交变换。17．线坐标1,1,1所表示的直线方程为0321xxx或01yx。18．在仿射变换下，菱形的对边平行、对角线互相平分和对边相等的性质在仿射变换下保持不变；邻边相等、对角线互相垂直和对角线平分菱形对角的性质都改变了。19．相交于影消线的二直线必射影成两平行线。设二直线1l和2l交于P点，P点在影消线上，1l和2l经射影对应，对应直线为1l和2l，则P点对应无穷远点。由于射影对应保持结合性不变，所以P的对应点是1l和2l的交点，即无穷远点，也就是1l∥2l。20.将二次曲线2293025122040xxyyxy化简成标准型。915C256104ABDEF1）计算不变量21234,0ABIACIACBBC3915615251006104ABDIBCEDEF2）判别类型20I说明曲线为抛物线型30I说明曲线为退化的抛物线故仍需求221100364034DEHFI故曲线为两重合直线标准方程为20y21．设ABC的内切圆与三边,,BCCAAB分别切于,,RST，试证：,,ARBSCT交于一点。证明：如图所示BACSRTO由已知可得,,BTBRCRCSATAS于是对有向线段,,,,,ATBTBRCRCSAS有ATBRCSBTCRASBRATCSBTASCR(1)(1)(1)1由塞瓦定理，可得,,ARBSCT交于一点22．设AD为ABC的一条中线，引任一直线CF交AD于E，交AB于F，证明：2AEAFEDFB如图所示在ADB中，,,ECF分别为三边,,ADDBBA上的点，（或其延长线上的点），由梅内劳斯定理有1AEDCBFDEBCAF因为D为BC中点，所以12DCBC即112AEBFDEAF即2AEAFDEBF从而2AEAFEDFB23．设平面上的点变换1和2分别由15232:1yxyyxx和2:2xyyxx表示，求（1）21；（2）12；BACDEF2)32()152()32(:12yxyyxyxx，即5243:12yxyyxx若求12，只需从2中求出yx,即可，所以22:12yxyyx24．．试确定仿射变换，使y轴、x轴的象分别为直线10xy和10xy，且点(1,1)的象为原点。所求变换的公式为111222''''xxyyxy其中11220则0x变成直线111''0xy但由题设0x变成''10xy可知，111''0xy与''10xy表示同一直线。所以1111111h因此''1hxxy同理''1kyxy此处,hk是参数。又因为点（1，1）的象为原点，于是1,1hk，所以，所求变换的逆式为''1(''1)xxyyxy由此得出所求的仿射变换为'22'122xyxxyy第三章向量方法在几何中的应用主要内容：1．向量的概念及其运算对于学习过向量的学员来讲并不陌生，但是利用向量来解决初等几何问题，如：共点问题、共面问题、求线段的长度问题和直线间的夹角问题等等，是以往我们没涉及到的方法，他给我们提供了另一种解决初等几何问题的新思路。2．向量的概念、向量的运算以及向量的线性相关和线性无关。3．熟悉向量的运算，包括向量的加减法、向量数乘运算、向量的内积、外积，以及向量的线性相关和线性无关的定义及几何意义。4．熟悉如何用向量描述几何问题。重点掌握：1．设a与b是两个非零向量，若a与b线性相关，则ab0。2．已知向量123123,,,,,axxxbyyy，则a与b之间的内积ab112233xyxyxy。3．空间中三个向量线性相关当且仅当它们共面，空间中的四个向量一定线性相关。4．如果两个向量线性相关，则它们的位置关系是平行或重合，夹角为0或。5．设a与b是两个非零向量，若0ab，则a与b垂直。6．平面上两个向量线性无关当且仅当它们不共线；平面上两个向量线性无关当且仅当它们平行；平面上的三个向量一定线性相关。7．若a与b是两个非零向量，则abab。8．设a与b是两个非零向量，若0ab，则a与b平行。9.已知向量1,2,3,3,4,0ab，分别计算a与b的模长与夹角。,ab的模长分别222222123143405ab1324305ab，夹角的余弦为51cos,14514ababab10.试用向量法证明：半圆的圆周角是直角。设O为半圆的圆心，AB为直径，C为半圆上任意一点，见图，要证明∠2ACB，取OAa，则OBa，设OCc，由于,,OAOBOC都是圆的半径，所以ac，11．试用向量法证明：等腰三角形的中线垂直于底边。设△ABC为等腰三角形，记,ABaACb，则BCba，并设中线ADm，见图111222mabab上式两端同ba做内积，得22111222mbaabbaba根据已知条件ABAC，即ab，所以0mba，即BCAD。12．试用向量法证明：平行四边形是菱形的充分必要条件是其对角线互相垂直。设,ab表示平行四边形的两个邻边，见图，则它的对角线分别为ab和ab，且22()ababab22ab当且仅当()0abab即ab当且仅当ab与ab垂直。ABDCabMABDCabm