《概率统计》专题练习(高考题选编)

1《概率统计》专题练习（高考题选编）1、如图4，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则（1）=______PA（）；（2）=______PA（B|）2、给定*kN，设函数**:fNN满足：对于任意大于k的正整数n()fnnk（1）设1k，则其中一个函数f在1n处的函数值为；（2）设4k，且当4n时，2()3fn，则不同的函数f的个数为。3.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机的往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于21，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于41，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不．在家看书的概率为.4.根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立（I）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；（Ⅱ）X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X的期望。25.工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别,,ppp,,ppp，假设,,ppp互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为,,qqq，其中,,qqq是,,ppp的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值（数字期望）EX；（Ⅲ）假定ppp，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。6.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。（1）如果8X，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（2）如果9X，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望。37．某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，……，8，其中X≥5为标准A，X≥为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：1x5678P0．4ab0．1且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．（III）在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：（1）产品的“性价比”=产品的零售价期望产品的等级系数的数学；（2）“性价比”大的产品更具可购买性．8．某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：品种甲403397390404388400412406品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？49．如图，A地到火车站共有两条路径1L和2L，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在个时间段内的频率如下表：时间（分钟）10~2020~3030~4040~5050~601L的频率0.10.20.30.20.22L的频率00.10.40.40.1现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（2）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X的分布列和数学期望.10.某市公租房的房源位于A,B,C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的。求该市的任4位申请人中：（Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数的分布列与期望。5《概率统计》专题练习1、如图4，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则（1）=______PA（）；（2）=______PA（B|）答案：（1）2；（2）1=4PA（B|）解析：（1）由几何概型概率计算公式可得2==SPAS正圆（）；（2）由条件概率的计算公式可得2114===24PABPAPA（）（B|）（）2、给定*kN，设函数**:fNN满足：对于任意大于k的正整数n，()fnnk（1）设1k，则其中一个函数f在1n处的函数值为；（2）设4k，且当4n时，2()3fn，则不同的函数f的个数为。答案：（1）()aa为正整数，（2）16解析：（1）由题可知*()fnN，而1k时，1n则*()1fnnN，故只须*(1)fN，故(1)()faa为正整数。（2）由题可知4k，4n则*()4fnnN，而4n时，2()3fn即(){2,3}fn，即{1,2,3,4}n，(){2,3}fn，由乘法原理可知，不同的函数f的个数为4216。3.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机的往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于21，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于41，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不．在家看书的概率为.【答案】1613【解析】161316143)41(])21(1[22P4.根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立（I）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；（Ⅱ）X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X的期望。解：记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；（I）()0.5,()0.3,,PAPBCAB…………3分()()()()0.8.PCPABPAPB…………6分（II）,()1()10.80.2,DCPDPC~(100,0.2)XB，即X服从二项分布，…………10分所以期望1000.220.EX…………12分65.工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别,,ppp,,ppp，假设,,ppp互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为,,qqq，其中,,qqq是,,ppp的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值（数字期望）EX；（Ⅲ）假定ppp，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。解：（I）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是)1)(1)(1(321ppp，所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，并等于.)1)(1)(1(1321133221321321ppppppppppppppp（II）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为321,,qqq时，随机变量X的分布列为X123P1q21)1(qq)1)(1(21qq所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX是.23)1)(1(3)1(2212121211qqqqqqqqqEX（III）（方法一）由（II）的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，.232121ppppEX根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值.下面证明：对于321,,ppp的任意排列321,,qqq，都有212123qqqq,232121pppp……………………（*）事实上，)23()23(21212121ppppqqqq.0)]())[(1())((1())(2()()()()(2)()(221211221112221211221121212211qqppqqpqqppqpqpqpqpqpqqppqpqp即（*）成立.（方法二）（i）可将（II）中所求的EX改写为,)(312121qqqqq若交换前两人的派出顺序，则变为,)(312121qqqqq.由此可见，当12qq时，交换前两人的派出顺序可减小均值.（ii）也可将（II）中所求的EX改写为212123qqqq，或交换后两人的派出顺序，则变为313123qqqq.由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当23qq时，交换后两人的派出顺序也可减小均值.综合（i）（ii）可知，当),,(),,(321321pppqqq时，EX达到最小.即完成任务概率大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的.6.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，7在图中以X表示。（1）如果8X，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（2）如果9X，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望。（注：方差2222121[()()()]nsxxxxxxn，其中x为1x，2x，…，nx的平均数）解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为;435410988x方差为.1611])43510()4359()4358()4358[(4122222s（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=.81162同理可得;41)18(YP;41)19(YP.81)21(;41)20(YPYP所以随机变量Y的分布列为：Y1718192021P8141414181EY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=2