《概率论》数学2章课后习题详解

概率论第4章习题参考解答1.若每次射击中靶的概率为0.7,求射击10炮,命中3炮的概率,至少命中3炮的概率,最可能命中几炮.解:设ξ为射击10炮命中的炮数,则ξ~B(10,0.7),命中3炮的概率为733103.07.0}3{CP0.0090至少命中3炮的概率,为1减去命中不到3炮的概率,为2010103.07.01}3{1}3{iiiiCPP0.9984因np+p=10×0.7+0.7=7.7不是整数,因此最可能命中[7.7]=7炮.2.在一定条件下生产某种产品的废品率为0.01,求生产10件产品中废品数不超过2个的概率.解:设ξ为10件产品中的废品数,则ξ~B(10,0.01),则废品数不超过2个的概率为20101099.001.0}2{iiiiCP0.99993.某车间有20部同型号机床,每部机床开动的概率为0.8,若假定各机床是否开动彼此独立,每部机床开动时所消耗的电能为15个单位,求这个车间消耗电能不少于270个单位的概率.解:设每时刻机床开动的数目为ξ,则ξ~B(20,0.8),假设这个车间消耗的电能为η个单位,则η=15ξ,因此2061.02.08.0}18{}15270{}27015{}270{20182020iiiiCPPPP4.从一批废品率为0.1的产品中,重复抽取20个进行检查,求这20个产品中废品率不大于0.15的概率.解:设这20个产品中的废品数为ξ,则ξ~B(20,0.1),假设这20个产品中的废品率为η,则η=ξ/20.因此3020209.01.0}3{}15.020{}15.0{iiiiCPPP=0.8675.生产某种产品的废品率为0.1,抽取20件产品,初步检查已发现有2件废品,问这20件中,废品不少于3件的概率.解:设ξ为这20件产品中的废品数,则ξ~B(20,0.1),又通过检查已经知道ξ定不少于2件的条件,则要求的是条件概率}2{}23{}2|3{PPP因事件}3{}2{,因此2}23{因此5312.06083.02852.019.01.0209.019.01.01}{1}2{1}{}2{1}{}2{}{}{}{}2{}3{}2|3{192018222010202202202202203CiPPiPPiPPiPiPiPPPPiiiiii6.抛掷4颗骰子,ξ为出现1点的骰子数目,求ξ的概率分布,分布函数,以及出现1点的骰子数目的最可能值.解:因掷一次骰子出现一点的概率为1/6,则ξ~B(4,1/6),因此有4140656100)(),4,3,2,1,0(6561}{4444xxCxxFkCkPxkkkkkkk或者算出具体的值如下所示：ξ01234P0.48230.38580.11570.01540.000841439992.0329838.0218681.0104823.000)(xxxxxxxF从分布表可以看出最可能值为0,或者np+p=(4/6)+1/6=5/6小于1且不为整数,因此最可能值为[5/6]=0.7.事件A在每次试验中出现的概率为0.3,进行19次独立试验,求(1)出现次数的平均值和标准差;(2)最可能出现的次数.解:设19次试验中事件A出现次数为ξ,则ξ~B(19,0.3),因此(1)ξ的数学期望为Eξ=np=19×0.3=5.7方差为Dξ=np(1-p)=19×0.3×0.7=3.99标准差为997.199.3D(2)因np+p=5.7+0.3=6为整数,因此最可能值为5和6.8.已知随机变量ξ服从二项分布,Eξ=12,Dξ=8,求p和n.解:由Eξ=np=12(1)和Dξ=np(1-p)=8(2)由(1)得n=12/p,代入到(2)得12(1-p)=8,解出p=(12-8)/12=1/3=0.3333代回到(1)式得n=12/p=12×3=369.某柜台上有4个售货员,并预备了两个台秤,若每个售货员在一小时内平均有15分钟时间使用台秤,求一天10小时内,平均有多少时间台秤不够用.解:每个时刻构成一n=4的贝努里试验,且p=15/60=0.25,因此,设ξ为每个时刻要用秤的售货员数,则ξ~B(4,0.25),当ξ2时,台秤不够用.因此每时刻台秤不够用的概率为433425.075.025.0)2(CP0.0508因此10个小时内平均有0.0508×10=0.508个小时台秤不够用.10.已知试验的成功率为p,进行4重贝努里试验,计算在没有全部失败的情况下,试验成功不止一次的概率.解:设ξ为4次试验中的成功数,则ξ~B(4,p),事件没有全部失败即事件{ξ0},而事件试验成功不止一次即事件{ξ1},因此要求的是条件概率P{ξ1|ξ0},又因事件{ξ1}被事件{ξ0}包含,因此这两个事件的交仍然是{ξ1},因此434141}0{1}1{}0{1}0{}1{}0|1{qpqqPPPPPP其中q=1-p11.ξ服从参数为2,p的二项分布,已知P(ξ≥1)=5/9,那么成功率为p的4重贝努里试验中至少有一次成功的概率是多少?解:因ξ~B(2,p),则必有9/5)1(1)0(1)1(2pPP,解得3/13/213/219/49/51)1(2ppp则假设η为成功率为1/3的4重贝努里试验的成功次数,η~B(4,1/3),则802.081161321)1(1)0(1)1(44pPP12.一批产品20个中有5个废品,任意抽取4个,求废品数不多于2个的概率解:设ξ为抽取4个中的废品数,则ξ服从超几何分布,且有204204155}2{iiiCCCP0.96813.如果产品是大批的,从中抽取的数目不大时,则废品数的分布可以近似用二项分布公式计算.试将下例用两个公式计算,并比较其结果.产品的废品率为0.1,从1000个产品中任意抽取3个,求废品数为1的概率.解:设任抽3个中的废品数为ξ,则ξ服从超几何分布,废品数为0.1×1000=1003100029001100}1{CCCP0.2435而如果用二项分布近似计算,n=3,p=0.1,ξ~B(3,0.1)2139.01.0}1{CP0.2430近似误差为0.0005,是非常准确的.14.从一副朴克牌(52张)中发出5张,求其中黑桃张数的概率分布.解:设ξ为发出的5张中黑桃的张数,则ξ服从超几何分布,则)5,4,3,2,1,0(}{5525135213iCCCiPii则按上式计算出概率分布如下表所示:ξ012345P0.22150.41140.27430.08150.01070.000515.从大批发芽率为0.8的种子中,任取10粒,求发芽粒数不小于8粒的概率.解:设ξ为10粒种子中发芽的粒数,则ξ服从超几何分布,但可以用二项分布近似,其中p=0.8,n=10,则10810102.08.0}8{iiiiCP=0.677816.一批产品的废品率为0.001,用普哇松分布公式求800件产品中废品为2件的概率,以及不超过2件的概率.解:设ξ为800件产品中的废品数,则ξ服从超几何分布,可以用二项分布近似,则ξ~B(800,0.001),而因为试验次数很大废品率则很小,可以用普阿松分布近似,参数为λ=np=800×0.001=0.89526.0!8.0}2{1438.028.0}2{208.08.02iieiPeP17.某种产品表面上的疵点数服从普哇松分布,平均一件上有0.8个疵点,若规定疵点数不超过1个为一等品,价值10元,疵点数大于1不多于4为二等品,价值8元,4个以上为废品,求产品为废品的概率以及产品的平均价值.解:设ξ为产品表面上的疵点数,则ξ服从普哇松分布,λ=0.8,设η为产品的价值,是ξ的函数.则产品为废品的概率为0014.0!8.01}4{1}4{408.0iieiPP108.0!8.0}1{}10{iieiPP0.8088428.0!8.0}41{}8{iieiPP0.1898则产品的平均价值为Eη=10×P{η=10}+8×P{η=8}=10×0.8088+8×0.1898=9.6064(元)18.一个合订本共100页,平均每页上有两个印刷错误,假定每页上印刷错误的数目服从普哇松分布,计算该合订本中各页的印刷错误都不超过4个的概率.解:设ξ为每页上的印刷错误数目,则ξ服从普哇松分布,λ=2,则1页印刷错误都不超过4个的概率为402!2}4{iieiP0.9473而100页上的印刷错误都不超过4个的概率为100}4{P0.00445419.某型号电子管的“寿命”ξ服从指数分布,如果它的平均寿命Eξ=1000小时,写出ξ的概率密度,并计算P(1000ξ≤1200).解:因Eξ=1000=1/λ,其概率密度为00010001)(1000xxexx0667.0)12001000(2.111000120010001000eeeeP20.ξ~N(0,1),Φ0(x)是它的分布函数,φ0(x)是它的概率密度,Φ0(0),φ0(0),P(ξ=0)各是什么值?解:因有20221)(xex,xtdtex20221)(,因此φ0(x)为偶函数,由对称性可知Φ0(0)=0.5,并有21)0(0,因ξ为连续型随机变量,取任何值的概率都为0,即P(ξ=0)=0.21.求出19题中的电子管在使用500小时没坏的条件下,还可以继续使用100小时而不坏的概率?解:要求的概率为P(ξ600|ξ500),因此905.0}500{}600{}500|600{1.010005001000600eeePPP22.若ξ服从具有n个自由度的χ2-分布,证明的概率密度为00022)(21212xxenxxxnn称此分为为具有n个自由度的χ-分布证:设,则因ξ的概率密度函数为000221)(2122xxexnxxnnη的分布函数为)0()()()()()(22xxFxPxPxPxF对两边求导得)0(22222)(2)(2121222222xenxenxxxxxxnnxnn23.ξ~N(0,1),求P{ξ≥0},P{|ξ|3},P{0ξ≤5},P{ξ3},P{-1ξ3}解:根据ξ的对称性质及查表得:P{ξ≥0}=1-Φ0(0)=0.5P{|ξ|3}=2Φ0(3)-1=2×0.99865-1=0.9973P{0ξ≤5}=Φ0(5)-0.5=0.5P{ξ3}=1-Φ0(3)=1-0.99865=0.00135P{-1ξ3}=Φ0(3)-Φ0(-1)=Φ0(3)+Φ0(1)-1=0.99865+0.8413-1=0.8399524.ξ~N(μ,σ2),为什么说事件|ξ-μ|2σ在一次试验中几乎必然出现?解:因为)1,0(~N19545.0197725.021)2(2}2{}2|{|0PP因此在一次试验中几乎必然出现.25.ξ~N(10,22),求P(10ξ13),P(ξ13),P(|ξ-1