《概率论与数理统计》-聂红梅-第7章习题答案

第7章部分习题答案2.设总体X的分布列为(;),0,1,2,,!kpXkekk其中0未知，求未知参数的矩估计量.解001100()(;)!(1)!!!ˆ.knnkkktnnkttntEXkpXkkekeekteeetX6.设总体X服从几何分布，分布列为1{}(1),(1,2,),xpXxppx其中p为未知参数，且01.p设12,,,nXXX为X的一个样本.求p的最大似然估计.解111111(){}(1)(1)ln()()ln(1)ln()ln()011ˆ.iniinnxiiixnnniiniiLppXxppppLpxnpnpxnLpnppppX12.设总体X的均值()EX已知，方差2()DX未知，且12(,,,)nXXX为来自总体X的一个样本．证明：22211ˆ()niiXn是的无偏估计量．证2212121ˆ([()1[(2])])niiniiiEEXnEXXn2121222122221[(2(]1[()(2(]1[2])))))))niiniiiniiiEXEXnDXEXEXnn所以，22211ˆ()niiXn是的无偏估计量．24.设12(,,,)nXXX为来自总体X的一个样本，总体X的密度为1,,(;)0,0,,xexfxx证明：11niiXXn是未知参数的无偏、一致、有效估计量.解21,,(;)0,0,,(),(),xexfxxEXDXn所以11niiXXn是参数的无偏估计量.222234ln(;)ln,ln(;)1,ln(;)12xfxfxxfxxx所以11niiXXn是参数的有效估计量。2lim()0.nDXn所以11niiXXn是参数的一致估计量。25.从一大批电子管中随机抽取100只，抽取的电子管的平均寿命为1000小时.设电子管寿命服从正态分布，均方差40小时.以置信度0.95求出整批电子管平均寿命的置信区间．解经计算1000,40,x且0.05,100n因为方差2已知，故均值的置信区间为：/2/2,,XzXznn由于0.0251000,100,40,1.96xnz代入样本值得：404010001.96,10001.96,100100故所求置信区间为：992.16,1007.84.31.为比较A,B两种型号同一产品的寿命，随机抽取A型产品5个，测得11000x小时，128s小时，随机抽取B型产品5个，测得2980x小时，232s小时.设总体为正态分布，并且由生产过程知它们的方差相等，求两个总体均值差12的置信度为0.99的置信区间．解经计算11000x，128s，2980x，232s且120.01,5,5,nn因为方差2212未知，故均值12的置信区间为：21221212121111(2),(2).wwXYStnnXYStnnnnnn由于11000x，128s，2980x，232s且120.01,5,5,nn2120.005(2)(8)3.3554tnnt代入样本值得，故所求置信区间为：36.5,76.5.33．某商店销售的一种商品来自甲、乙两个厂家.为考察商品性能上的差异，现从甲、乙两个厂家生产的产品中分别抽取了8件和9件产品，测其性能指标X和Y，得到两组样本观察值，经计算得22122.190,2.238,0.006,0.008,xyss假设性能指标X服从正态分布211(,),NY服从正态分布222(,),N求均值差12和方差比2122置信度为0.90的置信区间．解（1）经计算2.190x，210.006s，2.238y，220.008s且120.1,8,9,nn因为方差2212,未知，故均值12的置信区间为：22221212221212,.SSSSXYzXYznnnn由于2.190x，210.006s，2.238y，220.008s且120.1,8,9,nn20.051.6445zz代入样本值得，故所求置信区间为：0.214,2.798.因为方差2212,未知，故均值2122的置信区间为：2211222/21221/21211,.(1,1)(1,1)SSSFnnSFnn由于2.190x，210.006s2.238y220.008s且120.1,8,9,nn/2120.051/2120.950.05(1,1)(7,8)3.5,11(1,1)(7,8),(8,7)3.73FnnFFnnFF代入样本值得，故所求置信区间为：0.1196,0.0236.