《概率论与数理统计》期末试题6

广州工程仿真科技有限公司工程仿真网CAE有限元工程仿真有限元软件工程分析《概率论与数理统计》试题（6）一、判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”）⑴设A、B是Ω中的随机事件，则Ａ－ＢA（）⑵对任意事件A与B，则有P(A∪B)=P(A)+P(B)（）⑶若X服从二项分布b(k;n,p),则EX=npq()⑷X~N（，2），X1，X2，……Xn是X的样本，则~N（，2）（）⑸X为随机变量，则DX=Cov（X，X）----------------------------------------------（）二、（10分）一袋中装有m枚正品硬币，n枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）从袋中任取一枚，已知将它投掷r次，每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？.三、（15分）在平面上画出等距离(0)aa的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长()lla的针，求针与任一平行线相交的概率.四、（15分）从学校到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望.五、（15分）设二维随机变量（X，Y）在圆域x2+y2≤a2上服从均匀分布，（1）求X和Y的相关系数；（2）问,XY是否独立？六、（10分）若随机变量序列12,,,,nXXX满足条件211lim()0niniDXn试证明{}nX服从大数定律.七、（10分）设12,,,nXXX是来自总体(,)Fx的一个样本，1(,,)nnXX是的一个估计量，若2,nnnnEkD且2limlim0nnnnk试证n是的相合（一致）估计量。广州工程仿真科技有限公司工程仿真网CAE有限元工程仿真有限元软件工程分析八、（10分）某种零件的尺寸标准差为σ=5.2，对一批这类零件检查9件得平均尺寸数据（毫米）：x=26.56,设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是26毫米（0.05）.正态分布表如下x01.561.962.333.1Ф(x)0.50.9410.9750.990.999《概率论与数理统计》试题（6）评分标准一⑴√；⑵×；⑶×；⑷×；⑸√。二解设A‘任取一枚硬币掷r次得r个国徽’，B‘任取一枚硬币是正品’，则ABABA，----------------------------------------------------------5分所求概率为()(|)(|)()(|)()(|)PBPABPBAPBPABPBPAB12212rrrmmmnmnmnmnmn.------------------10分三解设A‘针与某平行线相交’，针落在平面上的情况不外乎图中的几种，设x为针的中点到最近的一条平行线的距离。为针与平行线的夹角，则0,02ax，不等式确定了平面上的一个区域ayay2axy0yASsin2lx广州工程仿真科技有限公司工程仿真网CAE有限元工程仿真有限元软件工程分析S.------------------------------------6分A发生sin2Lx，不等式确定S的子域A------------------------10分故012()sin22LLPAdaa-----------------------------------------------------15分四解2~(3,)5XB，分布律为3323()()()0,1,2,3.55kkkPXkCk即01232754368125125125125XP-----------------------5分X的分布函数为0,0,27,01,12581(),12,125117,23,1251,3.xxFxxxx------------------有所不同-----------------10分54722415061251251251255EX---------------------------------------------------15分五．解(,)XY的密度为22221,,(,)0,.xyrfxyr其他-------------------------------------广州工程仿真科技有限公司工程仿真网CAE有限元工程仿真有限元软件工程分析------3分（1）2222220011cosrxyrEXxdxdyddrr222001sin0rdr22223220011sin22rxyrEXYxydxdyddxrr232001[cos2]04rdr故,XY的相关系数0.----------------------------------------------------------9分（2）关于X的边缘密度为222221,||,()(,)0,||,rxrxXdyxrrfxfxydyxr2222,||,0,||.rxxrrxr关于Y的边缘密度的2222,||,()0,||.Yryyrfyryr因为(,)()()XYfxyfxfy，所以,XY不独立.------------------------------------15分六证：由契贝晓夫不等式，对任意的0有1111nniiiiPXEXnn2112211()()nniiiiDXDXnn---------5分所以对任意的01111limnniiniiPXEXnn22111lim()0niniDXn广州工程仿真科技有限公司工程仿真网CAE有限元工程仿真有限元软件工程分析故{}nX服从大数定律。----------------------------------------------------------------------10分七证由契贝晓夫不等式，对任意的0有2(||)nnnDPk-------------------------------------------------------5分于是20lim(||)lim0nnnnnPk即n依概率收敛于，故n是的相合估计。--------------------------------------10分八解问题是在2已知的条件下检验假设0H：0=26查正态分布表，1－2=0.975,21=1.96---------------5分1u1=1.08＜1.96,应当接受0H，即这批零件的平均尺寸应认为是26毫米。---------------15分