《概率论与数理统计》期末试题一及答案

1《概率论与数理统计》期末试题一班级姓名学号作业号题目一二总分123456分数阅卷人一、填空题（每小题4分，共40分）1、设A与B为互不相容的两个事件，0)B(P，则)|(BAP0。2、事件A与B相互独立，,7.0)(,4.0)(BAPAP则)(BP0.5。3、设离散型随机变量X的分布函数为01x)(xFa11xa3221xba2x且21)2(XP，则a61b,65。4、某人投篮命中率为54，直到投中为止，所用投球数为4的概率为___6254________。5、设随机变量X与Y相互独立，X服从“0-1”分布，4.0p；Y服从2的泊松分布)2(，则._______24.2____)(_______,4.2____)(YXDYXE6、已知,31,9)Y(D,16)X(DXY则.___36___)Y2X(D27、设总体X服从正态分布),,0(2N从总体中抽取样本,,,,4321XXXX则统计量24232221XXXX服从_______)2,2(F______________分布。8、设总体X服从正态分布),1,(N其中为未知参数，从总体X中抽取容量为16的样本，样本均值,5X则总体均值的%95的置信区间为____（4.51，5.49）____。（96.1975.0u）9、在假设检验中，显著性水平是用来控制犯第一类错误的概率，第一类错误是指___原假设为真却拒绝原假设____________。10、若),(~),,(~222211NYNX，且X与Y相互独立，则YXZ服从______),(222121N______分布。二、计算题（每小题10分，共60分）1、(10分)已知8只晶体管中有2只次品，从其中取两次，每次任取一只，做不放回抽样。求下列事件的概率：（1）一只是正品，一只是次品；（2）第二次才取得次品；（3）第二次取出的是次品。解：（1）一只是正品一只是次品的概率为：73CCC281216…………………（2）第二次才取得次品的概率为：1437826＝………………………（3）令1A表示“第一次取出的是正品”，2A表示“第一次取出的是次品”B表示“第二次取出的是次品”第二次取出的是次品的概率为：4182718672)A(P)A|B(P)A(P)A|B(P)B(P2211……………………………32、（10分）设随机变量X的概率密度)(xf1Ax20x0其它求：（1）A的值；（2）X的分布函数)(xF；（3）}.5.25.1{xP解：（1）由1dx)x(f可得，2021A1dx)1Ax(………………所以，)(xf1x2120x0其它（2）)x(F0，0xxx412，20x………………….12x（3）25.1161dx)1x21(}5.2x5.1{P…………………..3、（10分）甲、乙两人独立地进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X和Y分别表示甲和乙的命中次数，试求：（1）X和Y的联合分布律；（2）X和Y的边缘分布律。解：（1）X和Y的联合分布律为：。分别为2,1,0n,m4CC251)5.0()5.0(C)8.0()2.0(C)nY,mX(P)m1(n2m2n2nn2m2mm2…………………………………（2）X和Y的边缘分布律。由于X与Y相互独立，所以X和Y的边缘分布律分别为：。，2,1,0m)8.0()2.0(C)mX(Pm2mm2。，2,1,0n)5.0()5.0(C)nY(Pn2nn2……………4、（10分）二维随机变量（X，Y）的概率密度为),yx(8120,20yx4),(yxf0，其它求：（1）)(XE（2）)X(D（3）)(XYE（4）),(YXCOV解：（1）202067dxdy)yx(81x)X(E……………………（2）3611)67(35))X(E()X(E)x(D,35dxdy)yx(81x)X(E222202022…………（3）202034dxdy)yx(81xy)XY(E……………………（4）202067dxdy)yx(81y)Y(E361676734)Y(E)X(E)XY(E)Y,X(COV……………………….5、（10分）设总体X的概率密度为,1x10x)(xf0，其它（1）求的最大似然估计量；（2）求的矩估计量。解：（1）似然函数为：10,)();,...,,(111121iininininxxxxxxL……………………………取对数为：n1iixln)1(lnnLln……………………….由0dLlnd得，n1iin1iixlnn0xlnn…………………………则的最大似然估计量为：n1iiXlnnˆ。………（2）1011dxxxEX………………………………5由XEX得，的矩估计量为：X1Xˆ……………6、（10分）某炼铁厂的铁水含碳量服从正态分布)108.0,55.4(N2，现测得9炉铁水的平均含碳量为4.484，若已知方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55（05.0）？（注：,645.195.0u,96.1975.0u,3060.2)8(t975.08595.1)8(t95.0）解：,55.4:H055.4:H1…………………在原假设成立的条件下，)1,0(N~n/108.055.4X………………已知,05.0则96.1u21，由9n得拒绝域为：}96.1|3/108.055.4X{|……………………………当484.4X时，96.183.1611|3/108.055.4X|………………所以拒绝原假设，即认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55。