《概率论与数理统计》样卷分析

概率论与数理统计重修河海大学理学院数学系2010.07一、古典概率（一）内容提要：随机事件、概率及其性质、古典概型与几何概型、条件概率、乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式、事件的独立性、伯努利概型.（二）相关问题1.已知P(A)=0.3,P(A∪B)=0.4,则；)(BAP3．已知P()＝0.5,P(B)＝0.4,P()＝0.6,则P(A)＝.BA|BA2.袋中有20只黄球30只白球,二人依次从中任取一球,则第二人抽得黄球的概率为.)(BAP4．设事件A与B相互独立,已知P(A)=0.5,P(A∪B)=0.8,则；5.设A,B为任意两事件,且AB,P(B)0,则下列不等式正确的是:(A)P(A)P(A|B)(B)P(A)P(A|B)(C)P(A)P(A|B)(D)P(A)P(A|B)[]6.甲、乙、丙三人同时对飞机射击，三人击中的概率分别为0.4，0.6，0.8，飞机被一人击中而被击落的概率为0.3，被两人击中而被击落的概率为0.7，若三人都击中飞机，飞机必定被击落。（1）求飞机被击落的概率；（2）若已知飞机被击落，求因被两人击中而被击落的概率。7.设有来自三个班级的各10名、15名和25名学生参加一个文体节目，其中各班的女生分别为3名、7名和5名。随机地选一个班级，再从中先后选取两人做一个节目。（1）求先选到的一人为女生的概率；（2）已知后选到的一人为男生，求求先选到的一人为女生的概率。8.若事件A,B的概率为正,则事件A,B互不相容与事件A,B相互独立同时成立.二、随机变量及其分布（一）内容提要：随机变量及其分类、一维离散型随机变量、分布律及其性质、分布函数及其性质、一维连续型随机变量、密度函数及其性质、二维随机变量的联合分布、边缘分布、随机变量的独立性、随机变量函数的分布.（二）相关问题1．已知随机变量X的分布函数F(x)＝A+Barctgx,则A＝,B＝,概率密度f(x)＝.2.设某类电子管的使用寿命X(以小时计)的概率密度是f(x)=一等品的使用寿命在110小时以上，二等品的使用寿命在80~110小时，三等品的使用寿命在80小时以内，一等品、二等品、三等品的包装损坏率分别是0.002、0.20与0.30，现从一大批这类电子管（一、二、三等品混合）中任取一只，求（1）它碰巧是一只由于包装导致损坏的电子管的概率；（2）若已知这是一只由于包装导致损坏的电子管，求它原来是二等品的概率。0,00,1001100xxex3.设随机变量X服从参数为（2，p）的二项分布，随机变量Y服从参数为（4，p）的二项分布，若P{X≥1}=5/9，则P{Y≥1}=；4.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（以分计）服从指数分布，其密度函数为，某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，求出的分布律，并求P{Y≥4}。0,0,0,21)(2/xxexfx5.设其它,0]6,3[,9/2]1,0[,3/1)(~xxxfX若k使得P{Xk}=2/3,则k的取值范围是.6.设F1(x)与F2(x)分别为r.v.X1与X2的分布函数,为使F(x)=aF1(x)bF2(x)是某一r.v.的分布函数,在下列给定的各组数值中应取(A)a=3/5,b=2/5(B)a=2/3,b=2/3(C)a=1/2,b=3/2(D)a=1/3,b=3/2[]7.已知随机变量X、Y相互独立且都来自参数为0的指数分布，试用两种方法求出Z＝X＋Y的概率密度。8.设随机变量X概率密度是求(1)F(x);(2)Y=aX+b的概率密度，其中a0、b为常数。.,021,210,)(其它xxxxxf9.设二维随机变量(X，Y)的分布律为试验证X与Y是不相关的，也不是相互独立的。XY1011011/81/81/81/801/81/81/81/81．设r.v.X、Y相互独立,D(X)＝2,D(Y)＝4,则D(2X－Y)＝.三、随机变量的数字特征（一）内容提要：随机变量的数学期望、随机变量函数的数学期望、数学期望的性质、方差及其性质、协方差与相关系数.（二）相关问题2.设随机变量X与Y独立同分布,且U＝X－Y,V＝X＋Y,则协方差cov(U,V)=.3.已知随机变量X~N(0，1),,0，为常数，试证明:X+~N(,2).4.设二维连续型随机变量（X，Y）的密度函数为求:（1）关于X和Y的边缘密度函数fX(x)，fY(y)；（2）Y的期望和方差E(Y)，D(Y)；（3）X与Y的协方差Cov(X，Y)；（4）Z=max(X,Y)的密度函数。其它,010,0,2),(yyxyxf5.设连续型随机变量的密度函数为且E(X)=1/3，则a=，b=；其它,010,)(xbaxxf6.设随机变量X在区间[1,2]上服从均匀分布,随机变量Y是X的函数,且0,10,00,1XXXY则方差D(Y)=.7.设二维r.v.(X,Y)在矩形G~{(x,y)|0x2,0y1}上服从均匀分布,记;2,1,2,0;,1,,0YXYXVYXYXU若若若若试求(1)U和V的联合概率分布;(2)U和V的相关系数.8.游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光,电梯于每个整点的第5分钟,第25分钟,第55分钟从底层起行,假设某游客在早八点第X分钟到达底层侯梯处,且X在[0,60]上均匀分布,求该游客等候时间的数学期望.9.设X是r.v.,EX=,DX=2,则对任意常数C,必有(A)E(XC)2=EX2C2(B)E(XC)2=E(X)2(C)E(XC)2E(X)2(D)E(XC)2E(X)2[]10.设二维r.v.(X,Y)服从二维正态分布,则r.v.=X+Y与=XY不相关的充分必要条件为(A)E(X)=E(Y)(B)E(X2)[E(X)]2=E(Y2)[E(Y)]2(C)E(X2)=E(Y2)(D)E(X2)+[E(X)]2=E(Y2)+[E(Y)]2[]四、样本与抽样分布（一）内容提要：总体与样本、经验分布与统计量、统计中的三个重要分布、正态总体的抽样分布理论.（二）相关问题1.设X1,…,Xn是来自正态总体N(,2)的一个样本,则212)(niiXX~;212)(niiX~.2.设X1,…,Xn是来自正态总体N(,2)的一个样本,则niinXnZ1)(1服从.3.设X～N(1，12)，Y～N(2，22)，X1,…,Xn1；Y1,…,Yn2分别是两总体相互独立的样本，则的分布是.YX4.设X1，X2，X3是来自正态总体N（0，1）的简单随机样本，X=X12+a(X22X3)2，则当a=时，统计量X服从2分布，自由度为；5.设X～N(1，12)，Y～N(2，22)，X1,…,Xn;Y1,…,Ym分别是两相互独立的样本，则~.YX6.设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,22)的简单随机样本,X=a(X12X2)2+b(3X34X4)2,则当a=,b=时,统计量服从2分布,其自由度为.1.设总体X的密度函数为其中为未知参数。求的矩估计量和极大似然估计量，并说明的极大似然估计量是否为其无偏估计量，请给出理由。xexfx,231);(2)(1812.若P(X=k)=ke/k!,(k=0,1,2,…),则的极大似然估计量=.五、参数估计（一）内容提要：估计量与估计值、矩估计、极大似然估计、估计量的评价、区间估计、正态分布均值与方差的置信区间.（二）相关问题3.设总体X的概率函数为f(x;)＝xxex,0,)(其中为未知参数，X1，…,Xn为来自总体X的一个样本。（1）试求未知参数的矩估计量和极大似然估计量；（2）讨论未知参数的极大似然估计量的无偏性，并说明理由.4.设总体X的概率密度为其中1是未知参数,X1,…,Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求的估计量.其它,010,)1()(xxxf5.设X1，…，Xn，Xn+1是来自总体X的简单随机样本,,11niiXnX则,)(11122niiXXnS11nnSXXYn服从的分布是().A.N(0,1)B.t(n)C.t(n+1)D.t(n1)6.假设0.50,1.25,0.80,2.00是来自总体X简单随机样本,已知Y=lnX服从正态分布N(,1).(1)求X的数学期望EX(记EX为b);(2)求的置信度为0.95的置信区间;(3)利用上述结果求b的置信度为0.95的置信区间.1.假设检验中常见的两类错误是和。六、假设检验（一）内容提要：假设检验的概念、正态总体参数的假设检验.（二）相关问题2.下面列出的是某工厂随机选取的9只部件的装配时间(分):9.8,10.4,10.6,9.6,9.7,9.9,8.9,10.9,11.1设装配时间总体服从正态分布。(1)试问装配时间与10是否有显著性的区别(给定显著性水平＝0.05)？(2)求出该总体均值的置信度为0.95的置信区间。3.某自动包装机包装大米，额定标准为每袋净重50千克，设包装机称得的米重服从正态分布，某日任取该包装机所包装的9袋大米，称得其重量（千克）如下：49.7，50.6，51.8，50.4，49.8，51.1，51.0，50.5，51.2t分布表P{Tt(n)}=n0.050.025891.86952.30601.83312.2622（1）问这天该包装机工作是否正常（给定显著性水平=0.05）？（2）求正态总体均值的置信度为0.95的置信区间。