《正弦定理》教学设计

《正弦定理》教学设计一、教学内容分析（一）课标分析对于本节内容，课标要求“通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题”，根据课标的这一要求，本节内容的教学应首先着眼于通过对一般三角形中边角的探索，去寻找一般三角形中边、角关系的准确量化关系——正弦定理。对于正弦定理的发现，首先要引导学生回忆任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，引导学生思考是否能得到这个边。角关系准确量化的表示。对于此问题，首先研究比较特殊的直角三角形，这样就比较自然地引导到锐角三角函数，证明直角三角形中的正弦定理，进而利用锐角三角形中通一条高的不同表示，证明锐角三角形中的正弦定理；对于钝角三角形则课留给学生自己仿造前面的方法探究得到。（二）教材分析本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（人教A版）第一章，正弦定理第一课时，是在高一学生学习了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用。本节内容与初中学习的三角形的边和角的基本关系、判断三角形的全等都有密切的联系，解三角形问题与前面所学三角函数也紧密相连，两个定理在日常生活和工业生产中有十分广泛的应用，可以说本节既是初中三角形边角关系的延续，又是三角函数知识在三角形中的一个应用，在必修教材中占有十分重要的位置。根据实际教学处理，正弦定理这部分内容共分为三个层次：第一层次教师通过引导学生对实际问题的探索，并大胆提出猜想；第二层次由猜想入手，带着疑问，以及特殊三角形中边角的关系的验证，通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”、“向量法”等多种方法证明正弦定理，验证猜想的正确性，并得到三角形面积公式；第三层次利用正弦定理解决引例，最后进行简单的应用。学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“观察——实验——猜想——证明——应用”这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。二、学情分析对于高一的学生来说，以前，学生已学的平面几何，解直角三角形，三角函数，向量等知识，有一定观察分析、解决问题的能力。对于有关三角形边角关系的感性认识，即任意三角形中大边对大角，小边对小角的边角关系，并且在初中比较深刻地研究了直角三角形中的边与边得关系，即勾股定理，但对三角形中边与角的关系的准确量化还缺乏认识。虽然学生能利用高中必修1学习的三角函数的定义及变换公式表示直角三角形中边与角的正弦、余弦的关系，但表达出的关系不具有简洁对称性，特别是学生对于一般三角形中的边与角的关系有直观表象上升到抽象公式还有相当大的难度。为此，本节应将正弦定理的形成过程充分底展示给学生，让学生充分地领会从特殊到一般，从直观到抽象的知识形成过程，这也就决定了本节内容的教学要在教师的引导下放手让学生讨论、探究、猜想及论证。带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。三、教法分析根据教材的内容和编排的特点，为了更有效地突出重点，突破难点，本节应采用以教师为主导，学生为主体，师生互动的“互助探究”的教学方法，和层层设问“问题驱动”的教学模式。，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“定理的发现”为基本探究内容，以生活实际为参照对象，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，逐步得到深化。（1）突破重点的手段，抓住学生情感的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想，积极探索，使他们知难而进。另外，抓知识的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在以学生为主体的前提下给予适当的提示和指导。（2）突破难点的方法：抓住学生的能力实践，联系方法与技能，使学生较易证明正弦定理，另外通过例题和练习来突破难点。四、学法指导指导学生掌握“观察—类比—猜想—证明—应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的探究中。让学生在问题情境中学习，并观察、类比、思考、探究、概括、动手尝试相结合，体现学生的主体地位，增强学生有特殊到一般的数学思维能力，形成实事求是的科学态度，增强锲而不舍的求学精神。五、设计思想：本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。六、教学目标：知识与技能1．掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2．能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。过程与方法1．让学生从已有的几何知识出发,通过对任意三角形边角关系的探索，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，实验，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明方法，理解三角形面积公式，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题。2．通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力。情感、态度与价值观1．通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。2．培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。七、教学重点与难点教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用。教学难点：正弦定理的猜想提出过程。八、教学过程：（一）回忆知识，巩固基础1．在△ABC中，ABC，2222ABC。2．在Rt△ABC中，2C，则sinaAc，sinbBc.3．三角形分类：按三个角的特点分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．按边长特点分为等腰三角形、等边三角形、非等腰三角形．ABC4．在三角形中有：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；大角对大边，小角对小边。（二）导入新课，激发兴趣教师：在河两岸有三处标志性建筑物，不过河，能否知道AB之间的距离。学生：思考提出测量角A，C及AC的距离。教师：若已知测得75BAC，45ACB，3003AC，你能解决吗？教师：如何解决此类问题，大家可以课后用初中所学的方法试着求解一下，今天我们学习为了简捷解决此类问题的知识。（三）温故知新，提出猜想大家首先回忆来初中所学的知识：在RtABC中，C为直角，A，B，C的对边分别为a，b，c。由锐角三角函数的定义，你能写出sinA和sinB吗？（引导学生自己写出来）sinaAc，sinbBc，因为两式中的c是相同的，于是发现sinsinabcAB，因为90C，所以sin1C，上式可拓展为sinsinsinabcABC。此结论在直角三角形中成立，在其他一般的三角形中是否成立呢？（四）验证猜想，获得新知当ABC是锐角三角形时，我们可以添加三角形的高，化归为直角三角形，如图，CD是AB边上的高，在RtBCD中，sinCDBa，有sinCDaB，在RtACD中sinCDAb，有sinCDbA，于是sinsinaBbA，写成比例式sinsinabAB。同理，添加BC边上的高，可得sinCsincbB，所以锐角三角形中，总有sinsinsinabcABC。我们运用转化的思想，把锐角三角形问题，转化到直角三角形中。当ABC时钝角三角形时，设C为钝角，过A做BC边上的高AD，交BC的延长线于D，在RtABD中，sinADBc，有sinADcB，在RtACD中sinsinCADACDb，有sinCADb，于是sinsincBbC，写成比例式sinsinbcBC。同理，作AC边上的高，可得sinCsinAca，于是钝角三角形中，总有sinsinsinabcABC。通过分直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三种情况讨论，我们发现三角形中，各边DCBADCBA和它对角的正弦的比值相等，即sinsinsinabcABC。还有其它证明方法吗？（让学生相互讨论，思考，教师的引导，可以得到以下一些方法）法二：（等积法）对于任意△ABC，由初中所学过的面积公式可以得出：111222ABCSACBDCBAEBACF，而由图中可以看出：sinBDBACAB，sinAEACBAC，sinCFABCBC∴sinBDABBAC，sinAEACACB，sinCFBCABC∴111222ABCSACBDCBAEBACF111sinsinsin222ACABBACCBCAACBBABCABC111sinsinsin222bcBACabACBcaABC等式111sinsinsin222bcBACabACBcaABC中均除以abc21后可得sinsinsinBACABCACBabc，即sinsinsinabcBACABCACB。教师边分析边引导学生，同时板书证明过程。在刚才的证明过程中大家是否发现三角形高sinsinAEcABCaABC，三角形的面积：12ABCSaAE，能否得到新面积公式学生：111sinsinsin222ABCSbcBACabACBcaABC得到三角形面积公式111sinsinsin222ABCSabCcaBbcA还有其他的证明方法吗？法三：（外接圆法）比如：sinaA、sinbB、sincC都等于同一个比值k，那么它们也相等，这个k到底有没有什么特殊几何意义呢？学生：在前面的检验中，RtABC中，sinsinsinabccABC，c恰为外接接圆的直径，即2ckR，所以作ABC的外接圆O，O为圆心，连接BO并延长交圆O于'B，把一般三角形转化为直角三角形。证明：连续BO并延长交圆于'B∴'90BAB，'BCcbaFEDCBA在'RtBAB中，sin'ABBBB∴'2sin'sinABABBBRBC即2sincRC同理可证：2sinaRA，2sinbRB∴2sinsinsinabcRABC教师：从刚才的证明过程中,2sinsinsinabcRABC，显示正弦定理的比值等于三角形外接圆的直径2R，我们通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”等平面几何方法证明正弦定理。教师：能否利用其他知识来证明正弦定理？在对必修4的学习中曾说过，平面向量是我们数学中的一种工具，能否利用向量积来证明正弦定理呢？法四：（向量法）在锐角三角形ABC中，ABBCAC，作单位向量i垂直于AC，ACiABiBCi即0cos(90)cos(90)cAaC∴sinsin0cAaC∴sinsincaCA同理：∴sinsinbaBA∴sinsinsinabcABC对于钝角三角形，直角三角形的情况作简单交代。法五：（坐标法）建立直角坐标系，借助三角函数定义进行证明，在如图所示的直角坐标系中，点B，C的坐标分别为(cos,sin)BcAcA，(,0)Cb，于是1sin2ABCSbcA，同理11sinsin22ABCSabCacB，从而可证明sinsinsinabcABC。（五）巩固训练，深化提高一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。在三角形中，根据已知条件，共有以下几种类型：①已知三个角（根据初中所有的知识B/CBAcbaCBAOyx可知，这样的三角形有无数多个，无法确定三角形，此类问题不属于我们要解决的解三角形的问题）；②已知一边两角；③