搜索
1/7正比例和反比例的意义（第39～47页）本节教材是在比和比例的基础上进行教学，着重使学生理解正比例和反比例的意义。正比例与反比例是比较重要的两种数量关系，学生理解并掌握了这种数量关系，可以加深对比例的理解，并能应用它们解决一些含正、反比例关系的实际问题。同时通过这部分内容的教学，可以进一步渗透函数思想，为学生今后的学习打下基础。本节教材分“成正比例的量”和“成反比例的量”两个部分。与过去的教材相比，教材精简了例题，正比例与反比例都只安排了一个例题，通过研究圆柱形杯子的体积、底面积与高这三个数量的依存关系，使学生理解正比例与反比例的意义。同时教材不再对研究的过程作详细的引导和说明，只是提供观察研究的素材与数据，出示关键性的结论，充分发挥学生的主动性，以体现自主探究、合作交流的学习过程。在正比例教学部分，根据《标准》要求，教材安排了正比例的图像，直观地呈现两个变量之间的依存关系，使学生加深对正比例的认识。具体内容的说明和教学建议1．例1。2/7编写意图教学正比例的意义。教材呈现了用相同的圆柱形杯子装水的实验，用列表的形式给出了装水的高度和相应的体积的实验数据，让学生填出对应的底面积。然后引导学生观察此表，研究水的体积和高度这两个量的变化关系及规律。使学生从三个层次认识这两个量的变化关系：（1）水的体积和高度是两种相关联的量，水的体积随着高度的变化而变化。（2）水的高度增加，体积也增加，水的高度降低，体积也减少。（3）水的体积和高度的比值一定。由此，说明什么叫正比例关系。在此基础上，明确例1中的体积和高度成正比例关系，体积和高度是成正比例的量。接着用字母x、y表示两种相关联的量，把正比例关系进一步抽象概括成=k（一定）。最后让学生找一找生活中成正比例的量，进一步巩固正比例的意义。教学建议正比例的意义应结合学生熟悉的数量关系进行教学。可以采用教材中的例子，也可以选择学生熟悉的其他数量关系，如单价、数量和总价或时间、速度和路程等数量关系。教材提供的例子，研究的是圆柱形水杯的体积与高度的关系，有6组数据，这些数据不必通过实验得出，但如果能用多媒体或其他形式直观呈现数据的获取过程也可以。研究水的体积和高度的关系前，可先让学生计算出每组数据相应的底面积，然后采用小组讨论的形式进行研究。可以出示几个问题：（1）水的体积和高度有关系吗？（2）水的体积是怎样随着高度变化的？（3）水的体积和高度的变化有什么规律？引导学生分析水的体积和高度之间的关系。学生讨论汇报后，可引导学生从三方面明确水的体积和高度的关系。即（1）3/7水的体积随着高度变化，它们是两种相关联的量。（2）高度增加，体积也增加；高度降低，体积减少。（3）水的体积和高度的比值总是一定的，也就是体积/高=底面积（一定）。接着可以再让学生研究一对其他相关联的量的关系，如路程和时间：一列火车行驶的时间和所行的路程如下表。时间/时1234567…路程/km90180270360450540630…通过引导学生观察、思考，认识到路程和时间是两种相关联的量，路程是随着时间的变化而变化的，路程和时间的比值都相等（一定），写成关系式就是=速度（一定）。在这两个例子的基础上，让学生比较它们有什么共同规律，从而进一步概括出“两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。”在此基础上，让学生利用正比例的意义判定上述两个例子中相关联的量是不是成正比例关系，并说明为什么。在研究具体数量关系，明确什么是正比例关系后，可引导学生用字母表示出正比例关系：=k（一定）。结合这个关系式让学生说一说上面两个例子中，x、y、k各表示什么？最后让学生举出一些生活中成正比例关系的例子，汇报时应说说所举例子中的两个量为什么是成正比例关系的量。2．例2。4/7编写意图教学正比例图像。函数的图像是用平面直角坐标系表示的，由于学生没有直角坐标系方面的知识，教材直接呈现例1中体积与高度的正比例关系图像（正比例关系的图像是一条经过原点的直线。因为小学阶段研究的数都是正数，所以表示的图像都限于平面直角坐标系的第一象限），再通过图下面的两个问题，让学生体会正比例图像的特点和作用，加深对正比例的认识。教学建议教学时，可以先出示坐标系说明如何描点连线画出正比例关系图像。再通过图下面的两个问题体会正比例图像的特点。（1）用图像表示正比例关系。可以先出示例1的数据表和坐标系，说明正比例关系可以通过一个图像来表示。然后介绍坐标系横轴上和竖轴上的数据表示的含义，并结合例1数据表中的一对数据说明，表中的每一组数据都可以用一个点来表示。如，高度2cm，体积50cm3这对数据，就可以用（2,50）表示，照此方法师生共同描出其余的点。并把描好的点连起来，形成一条直线，告诉学生这就是体积与高度的正比例关系图像。（2）认识正比例关系图像。结合问题（1），使学生了解从这个图像可以直观看到高度与体积的变化情况，高度增加，体积也随着增大。通过问题（2），使学生知道：利用正比例关系图像，不用计算，可以由一个量的值，直接找到对应的另一个量的值。如，知道高度是7cm，可以从图像上找到高度是7的点，再找这个点对应的竖轴上的数175，即高度是7cm时，对应的体积175cm3。“做一做”是正比例知识的综合练习，可以边讨论边完成。5/73．例3。编写意图教学反比例的意义。教材通过研究装水实验中，水的高度和水杯底面积的关系来认识反比例的意义。编排思路与例1相类似。教学建议有了学习正比例意义的基础，反比例意义的学习应更加体现学生的主体性，除了让学生发现成反比例的量之间的关系，也可以让学生仿照正比例意义，尝试归纳反比例的意义。教学时，可以让学生找一找生活中有哪些成反比例的量。也可以举出一些数量关系，让学生判断是否成反比例,并说说理由，以巩固对反比例意义的认识。教学本例之后，可以将例1与例3进行比较，加深对正比例和反比例的认识，体会它们之间的联系。正比例关系：=底面积（一定）反比例关系：底面积×高=体积（一定）最后通过讨论让学生归纳出正比例与反比例的相同点和不同点。6/74．关于练习七中一些习题的说明及教学建议。第1题，根据给出的数据判断。要从两个方面说明为什么成正比例。（1）航程是随着飞行时间的增加而增加。（2）航程与飞行时间的比值总是相等的。第（2）问比值表示的意义是这架飞机的飞行速度，说明它是匀速飞行。第2题，要根据数量关系式判断。(1)=单价，单价一定，所以总价与数量成正比例。(2)小新跳高的高度与他的身高不是相关联的量，它们不成比例。(3)=每公顷产量，每公顷产量一定，所以总产量与公顷数成正比例。(4)总页数＝已看页数＋未看页数，所以已经看的页数与未看的页数不成比例。第4题，先根据数据画出图像，再观察图像特点，使学生看到画出的图像是一条直线。判断树高和影长是否成正比例，应让学生说出判断的理由。第5题，先举出一个成正比例的例子，写出两个相关联的量相对应的数据（至少5组）。在横轴和竖轴上标出对应的量，根据给出的数据确定单位长度并标出横轴和竖轴上的数据。再根据给出的几组数据描出相应的点，最后把它们连起来，得到相应的正比例图像。可以用小组合作的形式完成。第6、7题，结合给出的数据判断。也要从两个方面说明为什么。（1）一个量变大，另一个量变小。（2）两个量中相对应的两个数的乘积始终相等。第8题根据关系式y×x=10填写。让学生先填表，再说说是怎样想的。第9题与第2题类似，根据数量关系判断。其中第（1）、（2）、（3）题成反比例，第（4）题成正比例。车轮周长×车轮转数＝车行的路程，已知车轮直径一定，因为圆的周长=2π×直径，所以车轮周长一定，车轮周长=，所以行驶的路程和车轮转数成正比例。第（5）题种黄瓜的面积与种西红柿的面积不是相关联的量，它们不成比例。第11*题，在一个坐标系中呈现了两个正比例关系图像，反映的是斑马和长颈鹿的奔跑情况，通过后两个问题，让学生体会到在一个坐标系中同时呈现两个图像的作用。7/7第（1）问，斑马和长颈鹿的奔跑路程和奔跑时间都成正比例。第（2）问，可以通过图像直接估计，先在横轴上找到18分钟的位置，再在两个图像上找到相应的点，再分别在竖轴上找与这两个点对应的数值。也可以通过计算得到，如从图像上可以得知斑马10分钟跑12km，那么1分钟跑1．2km，18分钟跑1．2×18＝21．6（km）。也可以根据它们成正比例关系，列出比例式，解比例得到：设斑马18分钟跑xkm。=10x=12×18x=12×x=21．6第（3）问，从对比相同时间斑马和长颈鹿跑的距离可以得到斑马跑得快。例如从图像可以得到，10分钟长颈鹿跑了8km，而斑马跑了12km。最后的“你知道吗？”呈现的是例3中高度与底面积成反比例关系的图像，是一条曲线。从图像可以直观看出数量变化的规律，水的高度随底面积的增大而降低。反比例关系的图像不是教学内容，只作为知识让学生认识和了解。