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§1.3导数在研究函数中的应用1．3.1函数的单调性与导数一、基础过关1．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的．则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)3．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b0时，f(x)是()A．增函数B．减函数C．常数D．既不是增函数也不是减函数4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是()A．y＝sinxB．y＝xe2C．y＝x3－xD．y＝lnx－x5．函数y＝f(x)在其定义域－32，3内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为________．6．函数y＝x－2sinx在(0,2π)内的单调递增区间为______．7．已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，试画出函数y＝f(x)的大致图象．二、能力提升8．如果函数f(x)的图象如图，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是()9．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)g′(x)，则当axb时，有()A．f(x)g(x)B．f(x)g(x)C．f(x)＋g(a)g(x)＋f(a)D．f(x)＋g(b)g(x)＋f(b)10．函数y＝ax3－x在R上是减函数，则a的取值范围为________．11．求下列函数的单调区间：(1)y＝x－lnx；(2)y＝12x.12．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象经过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)求函数y＝f(x)的单调区间．三、探究与拓展13．已知函数f(x)＝mx3＋nx2(m、n∈R，m≠0)，函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线与x轴平行．(1)用关于m的代数式表示n；(2)求函数f(x)的单调增区间．答案1．A2．D3．A4．B5.－13，1∪[2,3)6.π3，5π37．解由y＝f′(x)的图象可以得到以下信息：x－2或x2时，f′(x)0，－2x2时，f′(x)0，f′(－2)＝0，f′(2)＝0.故原函数y＝f(x)的图象大致如下：8．A9．C10．a≤011．解(1)函数的定义域为(0，＋∞)，y′＝1－1x，由y′0，得x1；由y′0，得0x1.∴函数y＝x－lnx的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)．(2)函数的定义域为{x|x≠0}，y′＝－12x2，∵当x≠0时，y′＝－12x20恒成立．∴函数y＝12x的单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，没有单调增区间．12．解(1)由y＝f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c.由在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－1)＝6.∴3－2b＋c＝6－1＋b－c＋2＝1，即2b－c＝－3b－c＝0解得b＝c＝－3.故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.(2)f′(x)＝3x2－6x－3.令f′(x)0，得x1－2或x1＋2；令f′(x)0，得1－2x1＋2.故f(x)＝x3－3x2－3x＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2)．13．解(1)由已知条件得f′(x)＝3mx2＋2nx，又f′(2)＝0，∴3m＋n＝0，故n＝－3m.(2)∵n＝－3m，∴f(x)＝mx3－3mx2，∴f′(x)＝3mx2－6mx.令f′(x)0，即3mx2－6mx0，当m0时，解得x0或x2，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m0时，解得0x2，则函数f(x)的单调增区间是(0,2)．综上，当m0时，函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m0时，函数f(x)的单调增区间是(0,2)．