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§1.7定积分的简单应用1．7.1定积分在几何中的应用一、基础过关1．用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是()A．ʃcaf(x)dxB．|ʃcaf(x)dx|C．ʃbaf(x)dx＋ʃcbf(x)dxD．ʃcbf(x)dx－ʃbaf(x)dx2．由y＝1x，x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积为()A．ln2B．ln2－1C．1＋ln2D．2ln23．曲线y＝x3与直线y＝x所围成图形的面积等于()A．ʃ1－1(x－x3)dxB．ʃ1－1(x3－x)dxC．2ʃ10(x－x3)dxD．2ʃ0－1(x－x3)dx4．曲线y＝x2－1与x轴所围成图形的面积等于()A.13B.23C．1D.435．由曲线y＝x与y＝x3所围成的图形的面积可用定积分表示为________．6．由y＝x2，y＝14x2及x＝1围成的图形的面积S＝________.二、能力提升7．设f(x)＝x2，x∈[0，1]，2－x，x∈1，2]，则ʃ20f(x)dx等于()A.34B.45C.56D．不存在8．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c0)围成图形的面积是23，则c等于()A.13B.12C．1D.239．从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．10．求曲线y＝6－x和y＝8x，x＝0围成图形的面积．11．求曲线y＝x2－1(x≥0),直线x＝0，x＝2及x轴围成的封闭图形的面积．12．设点P在曲线y＝x2上，从原点向A(2,4)移动，如果直线OP，曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记为S1、S2.(1)当S1＝S2时，求点P的坐标；(2)当S1＋S2有最小值时，求点P的坐标和最小值．三、探究与拓展13．已知抛物线y＝x2－2x及直线x＝0，x＝a，y＝0围成的平面图形的面积为43，求a的值．答案1．D2．A3．C4．D5．ʃ10(x－x3)dx6.147．C8．B9.1310．解作出直线y＝6－x，曲线y＝8x的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组y＝6－xy＝8x得直线y＝6－x与曲线y＝8x交点的坐标为(2,4)，直线y＝6－x与x轴的交点坐标为(6,0)．因此，所求图形的面积S＝S1＋S2＝ʃ208xdx＋ʃ62(6－x)dx＝8×23x32|20＋(6x－12x2)|62＝163＋[(6×6－12×62)－(6×2－12×22)]＝163＋8＝403.11．解如图所示，所求面积：S＝ʃ20|x2－1|dx＝－ʃ10(x2－1)dx＋ʃ21(x2－1)dx＝－(13x3－x)|10＋(13x3－x)|21＝1－13＋83－2－13＋1＝2.12．解(1)设点P的横坐标为t(0t2)，则P点的坐标为(t，t2)，直线OP的方程为y＝tx.S1＝ʃt0(tx－x2)dx＝16t3，S2＝ʃ2t(x2－tx)dx＝83－2t＋16t3.因为S1＝S2，所以t＝43，点P的坐标为(43，169)．(2)S＝S1＋S2＝16t3＋83－2t＋16t3＝13t3－2t＋83，S′＝t2－2，令S′＝0得t2－2＝0.∵0t2，∴t＝2，因为0t2时，S′0；2t2时，S′0.所以，当t＝2时，S1＋S2有最小值83－423，此时点P的坐标为(2，2)．13．解作出y＝x2－2x的图象如图．(1)当a0时，S＝ʃ0a(x2－2x)dx＝(13x3－x2)|0a＝－a33＋a2＝43，∴(a＋1)(a－2)2＝0.∵a0，∴a＝－1.(2)当a0时，①若0a≤2，则S＝－ʃa0(x2－2x)dx＝－(13x3－x2)|a0＝a2－13a3＝43，∴a3－3a2＋4＝0∴(a＋1)(a－2)2＝0.∵a0，∴a＝2.②当a2时，不合题意．综上a＝－1，或a＝2.