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章末检测一、选择题1．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形是()A．以(a，b)为圆心的圆B．以(－a，－b)为圆心的圆C．点(a，b)D．点(－a，－b)2．点P(m,3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为()A．点在圆外B．点在圆内C．点在圆上D．与m的值有关3．空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)和B(x，－1,6)的距离为86，则x的值为()A．2B．－8C．2或－8D．8或－24．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A．[－3，－1]B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)5．设A、B是直线3x＋4y＋2＝0与圆x2＋y2＋4y＝0的两个交点，则线段AB的垂直平分线的方程是()A．4x－3y－2＝0B．4x－3y－6＝0C．3x＋4y＋6＝0D．3x＋4y＋8＝06．圆x2＋y2－4x＝0过点P(1，3)的切线方程为()A．x＋3y－2＝0B．x＋3y－4＝0C．x－3y＋4＝0D．x－3y＋2＝07．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是()A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心8．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为()A．5B．10C.252D.2549．将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数λ的值为()A．－3或7B．－2或8C．0或10D．1或1110．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则()A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能11．若直线mx＋2ny－4＝0(m、n∈R，n≠m)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－4＝0的周长，则mn的取值范围是()A．(0,1)B．(0，－1)C．(－∞，1)D．(－∞，－1)12．过点P(－2,4)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与直线l平行，则直线l与m的距离为()A．4B．2C.85D.125二、填空题13．与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程为______________．14．过点P(－2,0)作直线l交圆x2＋y2＝1于A、B两点，则|PA|·|PB|＝________.15．若垂直于直线2x＋y＝0，且与圆x2＋y2＝5相切的切线方程为ax＋2y＋c＝0，则ac的值为________．16．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．三、解答题17．自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程．18．已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P，Q两点，O为原点，若OP⊥OQ，求实数m的值．19．已知圆x2＋y2－6mx－2(m－1)y＋10m2－2m－24＝0(m∈R)．(1)求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；(2)与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；(3)求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等．20．如图，已知圆O：x2＋y2＝1和定点A(2,1)，由圆O外一点P(a，b)向圆O引切线PQ，切点为Q，且有|PQ|＝|PA|.(1)求a、b间关系；(2)求|PQ|的最小值；(3)以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程．答案1．D2.A3．C4．C5．B6．D7．C8．D9．A10．A11．C12．A13．2x＋3y＋8＝014．315．±516.4317．解如图所示，已知圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0关于x轴对称的圆为C1：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，其圆心C1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切．设l的方程为y－3＝k(x＋3)，即kx－y＋3＋3k＝0.则|5k＋5|1＋k2＝1，即12k2＋25k＋12＝0.∴k1＝－43，k2＝－34.则l的方程为4x＋3y＋3＝0或3x＋4y－3＝0.18．解设P，Q两点坐标为(x1，y1)和(x2，y2)，由OP⊥OQ可得x1x2＋y1y2＝0，由x2＋y2＋x－6y＋m＝0，x＋2y－3＝0，可得5y2－20y＋12＋m＝0.①所以y1y2＝12＋m5，y1＋y2＝4.又x1x2＝(3－2y1)(3－2y2)＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2＝9－24＋45(12＋m)，所以x1x2＋y1y2＝9－24＋45(12＋m)＋12＋m5＝0，解得m＝3.将m＝3代入方程①，可得Δ＝202－4×5×15＝1000，可知m＝3满足题意，即3为所求m的值．19．(1)证明配方得：(x－3m)2＋[y－(m－1)]2＝25，设圆心为(x，y)，则x＝3my＝m－1，消去m得x－3y－3＝0，则圆心恒在直线l：x－3y－3＝0上．(2)解设与l平行的直线是l1：x－3y＋b＝0，则圆心到直线l1的距离为d＝|3m－3m－1＋b|10＝|3＋b|10.∵圆的半径为r＝5，∴当dr，即－510－3b510－3时，直线与圆相交；当d＝r，即b＝±510－3时，直线与圆相切；当dr，即b－510－3或b510－3时，直线与圆相离．(3)证明对于任一条平行于l且与圆相交的直线l1：x－3y＋b＝0，由于圆心到直线l1的距离d＝|3＋b|10，弦长＝2r2－d2且r和d均为常量．∴任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等．20．解(1)连接OQ、OP，则△OQP为直角三角形，又|PQ|＝|PA|，所以|OP|2＝|OQ|2＋|PQ|2＝1＋|PA|2，所以a2＋b2＝1＋(a－2)2＋(b－1)2，故2a＋b－3＝0.(2)方法一由(1)知，P在直线l：2x＋y－3＝0上，所以|PQ|min＝|PA|min，|PA|min为A到直线l的距离，所以|PQ|min＝|2×2＋1－3|22＋12＝255.方法二由|PQ|2＝|OP|2－1＝a2＋b2－1＝a2＋9－12a＋4a2－1＝5a2－12a＋8＝5(a－1.2)2＋0.8，得|PQ|min＝255.(3)以P为圆心的圆与圆O有公共点，半径最小时为与圆O相切的情形，而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径，圆心P为过原点且与l垂直的直线l′与l的交点P0，所以r＝322＋12－1＝355－1，又l′：x－2y＝0，联立l：2x＋y－3＝0得P0(65，35)．所以所求圆的方程为(x－65)2＋(y－35)2＝(355－1)2.