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1.1.7柱、锥、台和球的体积一、基础过关1．一个三棱锥的高和底面边长都缩小为原来的12时，它的体积是原来的()A.12B.14C.18D.242．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为()A．1∶9B．1∶27C．1∶3D．1∶13．已知直角三角形的两直角边长为a、b，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为()A．a∶bB．b∶aC．a2∶b2D．b2∶a24．若球的体积与表面积相等，则球的半径是()A．1B．2C．3D．45．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是32π3，则这个三棱柱的体积是()A．963B．163C．243D．4836．将一钢球放入底面半径为3cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4cm，则钢球的半径是________cm.7．(1)表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是______；(2)体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是______．8．如图所示，三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2(V1V2)的两部分，求V1∶V2.二、能力提升9．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积和体积分别为()A．24πcm2,12πcm3B．15πcm2,12πcm3C．24πcm2,36πcm3D．以上都不正确10．圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的体积和表面积分别为()A．2π，6πB．3π，5πC．4π，6πD．2π，4π11．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.12．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．三、探究与拓展13．阿基米德在他的许许多多的科学发现当中最为得意的一个发现是：图中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球．在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的23，球的表面积也是圆柱全面积的23.请你试着证明．答案1．C2.A3.B4．C5．D6．37．(1)球(2)球8．解设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh.因为E、F分别为AB、AC的中点，所以S△AEF＝14S，V1＝13h(S＋14S＋S·S4)＝712Sh，V2＝Sh－V1＝512Sh，故V1∶V2＝7∶5.9．A10．A11．9π＋1812．解由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为3r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝13π·(3r)2·3r－43πr3＝53πr3，而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为33h，从而容器内水的体积是V′＝13π·(33h)2·h＝19πh3，由V＝V′，得h＝315r.即容器中水的深度为315r.13．证明设圆的半径为R，球的体积与圆柱的体积分别为V球和V柱，球的表面积与圆柱的全面积分别为S球及S柱，则有V球＝43πR3，V柱＝πR2·2R＝2πR3，∴V球＝23V柱．S柱＝2πR·2R＋2πR2＝6πR2，S球＝4πR2＝23S柱．