《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版必修2第二章直线与圆的位置关系

2.3.3直线与圆的位置关系一、基础过关1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是()A．过圆心B．相切C．相离D．相交2．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程为()A．y＝2xB．y＝2x－2C．y＝12x＋32D．y＝12x－323．若圆C半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝14．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)的位置是()A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．都有可能5．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为________．6．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被该圆所截得的弦长为22，则圆C的标准方程为____________．7．已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为27，求圆C的方程．8．m为何值时，直线2x－y＋m＝0与圆x2＋y2＝5.(1)无公共点；(2)截得的弦长为2；(3)交点处两条半径互相垂直．二、能力提升9．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为()A．1B．22C.7D．310．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为2的点有()A．1个B．2个C．3个D．4个11．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，且∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程为____________．12．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点．(1)求四边形PACB面积的最小值；(2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°，若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．三、探究与拓展13．圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．(1)证明：不论m取什么数，直线l与圆C恒交于两点；(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求此时m的值．答案1．D2.A3.A4.B5．46．(x－3)2＋y2＝47．解设圆心坐标为(3m，m)，∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，∴圆心到直线y＝x的距离为|2m|2＝2|m|.由半径、弦心距的关系得9m2＝7＋2m2，∴m＝±1.∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.8．解(1)由已知，圆心为O(0,0)，半径r＝5，圆心到直线2x－y＋m＝0的距离d＝|m|22＋－12＝|m|5，∵直线与圆无公共点，∴dr，即|m|55.∴m5或m－5.故当m5或m－5时，直线与圆无公共点．(2)如图，由平面几何垂径定理知r2－d2＝12，即5－m25＝1.得m＝±25，∴当m＝±25时，直线被圆截得的弦长为2.(3)如图，由于交点处两条半径互相垂直，∴弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，∴d＝22r，即|m|5＝22·5，解得m＝±522.故当m＝±522时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直．9．C10．C11．x2＋y2＝412．解(1)如图，连接PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，可设P点坐标为(x，－2－34x)．圆的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2×12×|AP|×|AC|＝|AP|.因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，所以当|PC|2最小时，|AP|最小．因为|PC|2＝(1－x)2＋(1＋2＋34x)2＝(54x＋1)2＋9.所以当x＝－45时，|PC|2min＝9.所以|AP|min＝9－1＝22.即四边形PACB面积的最小值为22.(2)假设直线上存在点P满足题意．因为∠APB＝60°，|AC|＝1，所以|PC|＝2.设P(x，y)，则有x－12＋y－12＝4，3x＋4y＋8＝0.整理可得25x2＋40x＋96＝0，所以Δ＝402－4×25×960.所以这样的点P是不存在的．13．(1)证明∵直线l的方程可化为(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0(m∈R)．∴l过2x＋y－7＝0x＋y－4＝0的交点M(3,1)．又∵M到圆心C(1,2)的距离为d＝3－12＋1－22＝55，∴点M(3,1)在圆内，∴过点M(3,1)的直线l与圆C恒交于两点．(2)解∵过点M(3,1)的所有弦中，弦心距d≤5，弦心距、半弦长和半径r构成直角三角形，∴当d2＝5时，半弦长的平方的最小值为25－5＝20.∴弦长AB的最小值|AB|min＝45.此时，kCM＝－12，kl＝－2m＋1m＋1.∵l⊥CM，∴12·2m＋1m＋1＝－1，解得m＝－34.∴当m＝－34时，取到最短弦长为45.