《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版必修2综合检测

综合检测一、选择题1．已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β.其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．32．已知点A(1,2，－1)，点C与点A关于平面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则线段BC的长为()A．22B．4C．25D．273．直线3ax－y－1＝0与直线(a－23)x＋y＋1＝0垂直，则a的值是()A．－1或13B．1或13C．－13或－1D．－13或14．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于()A．33B．23C.3D．15．过点A0，73与B(7,0)的直线l1与过点(2,1)，(3，k＋1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k等于()A．－3B．3C．－6D．66．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()A．28＋65B．30＋65C．56＋125D．60＋1257．设实数x、y满足(x－2)2＋y2＝3，那么yx的最大值是()A.12B.33C.32D.38．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则下列结论不成立的是()A．EF与BB1垂直B．EF与BD垂直C．EF与CD异面D．EF与A1C1异面9．设z是任意实数，相应的点P(2,2，z)运动的轨迹是()A．一个平面B．一条直线C．一个圆D．一个球10．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是()A．(0，2)B．(0，3)C．(1，2)D．(1，3)11．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为()A.26B.36C.23D.22二、填空题12．已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(1，3)，B(－2，－23)，则直线l1，l2的位置关系是________．13．过直线x＋y－22＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．14．已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．三、解答题15．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：(1)d的变化范围；(2)当d取最大值时，两条直线的方程．16．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过E点作EF⊥PB交PB于点F.求证：(1)PA∥平面EDB；(2)PB⊥平面EFD.17．已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3,5)．(1)求过点A的圆的切线方程；(2)O点是坐标原点，连接OA，OC，求△AOC的面积S.18．如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：(1)AE⊥平面BCE；(2)AE∥平面BFD.19．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．20．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.G为AD边的中点．求证：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB.答案1．C2．B3．D4．B5．B6．B7．D8．D9．B10．A11．A12．平行或重合13．(2，2)14.3315．解(1)如图所示，显然有0d≤|AB|.而|AB|＝6＋32＋2＋12＝310.故所求的d的变化范围为(0,310]．(2)由图可知，当d最大时，两直线垂直于AB.而kAB＝2－－16－－3＝13，∴所求的直线的斜率为－3.故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.16．证明(1)如图所示，连接AC，AC交BD于点O，连接EO.∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO.而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB.(2)∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂平面ABCD，∴PD⊥DC.∵PD＝DC，∴△PDC是等腰直角三角形．又DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC.①由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC.又PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.又DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE.②由①和②推得DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB.又EF⊥PB，且DE∩EF＝E，∴PB⊥平面EFD.17．解(1)⊙C：(x－2)2＋(y－3)2＝1.①当切线的斜率不存在时，有直线x＝3，C(2,3)到直线的距离为1，满足条件．②当k存在时，设直线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0，故|－k＋2|k2＋1＝1，得k＝34.∴方程为y－5＝34(x－3)，即3x－4y＋11＝0.综上，所求直线方程为x＝3或3x－4y＋11＝0.(2)|AO|＝9＋25＝34，lAO：5x－3y＝0，点C到直线OA的距离d＝134，S＝12d|AO|＝12.18．证明(1)∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC，又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF，∴AE⊥平面BCE.(2)连接AC与BD交于G点，则G是AC的中点，∵BF⊥平面ACE，则CE⊥BF，而BC＝BE，∴F是EC的中点，在△AEC中，FG∥AE，∴AE⊄平面BFDFG⊂平面BFDFG∥AE⇒AE∥平面BFD.19．解(1)∵切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零，∴设切线方程为x＋y＝a(a≠0)，又∵圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝2，∴圆心C(－1,2)到切线的距离等于圆的半径2，∴|－1＋2－a|2＝2⇒a＝－1，或a＝3，则所求切线的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.(2)∵切线PM与半径CM垂直，∴|PM|2＝|PC|2－|CM|2，∴(x1＋1)2＋(y1－2)2－2＝x21＋y21，∴2x1－4y1＋3＝0，∴动点P的轨迹是直线2x－4y＋3＝0.|PM|的最小值就是|PO|的最小值，而|PO|的最小值为O到直线2x－4y＋3＝0的距离d＝3510.此时P点的坐标为(－310，35)．20．证明(1)由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PBG，又PB⊂面PBG，所以AD⊥PB.