《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版必修5应用举例(二)

§1.2应用举例(二)一、基础过关1．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的直径为()A.922B.924C.928D．922．△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则AB→·BC→的值为()A．19B．14C．－18D．－193．平行四边形中，AC＝65，BD＝17，周长为18，则平行四边形的面积是()A．16B．17.5C．18D．18.534．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝6，cosA＝78，则△ABC的面积S为()A.152B.15C.8155D．635.如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，则圆O的面积为________．6．三角形两条边长分别为3cm,5cm，其夹角的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，则此三角形的面积是________cm2.7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cosA2＝255，AB→·AC→＝3.(1)求△ABC的面积；(2)若c＝1，求a的值．8．如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝4，cos∠CAD＝3132且AD＝BD，求△ABC的面积．二、能力提升9．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于()A.21B.106C.69D.15410．在△ABC中，B＝60°，C＝45°，BC＝8，D是BC上的一点，且BD→＝3－12BC→，则AD的长为()A．4(3－1)B．4(3＋1)C．4(3－3)D．4(3＋3)11．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．12．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．三、探究与拓展13．在△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角．(1)求最大角的余弦值；(2)求以此最大角为内角，夹此角的两边之和为4的平行四边形的最大面积．答案1．B2.D3.A4.A5．8π6.67．解(1)因为cosA2＝255，所以cosA＝2cos2A2－1＝35，sinA＝45.又由AB→·AC→＝3，得bccosA＝3，所以bc＝5.因此S△ABC＝12bcsinA＝2.(2)由(1)知，bc＝5，又c＝1，所以b＝5.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝20，所以a＝25.8．解设CD＝x，则AD＝BD＝5－x，在△CAD中，由余弦定理可知cos∠CAD＝5－x2＋42－x22×5－x×4＝3132.解得x＝1.在△CAD中，由正弦定理可知ADsinC＝CDsin∠CAD，∴sinC＝ADCD·1－cos2∠CAD＝41－31322＝378，∴S△ABC＝12AC·BC·sinC＝12×4×5×387＝1574.所以三角形ABC的面积为1574.9．B[设BC＝a，则BM＝MC＝a2.在△ABM中，AB2＝BM2＋AM2－2BM·AMcos∠AMB，即72＝14a2＋42－2×a2×4·cos∠AMB①在△ACM中，AC2＝AM2＋CM2－2AM·CM·cos∠AMC即62＝42＋14a2＋2×4×a2·cos∠AMB②①＋②得72＋62＝42＋42＋12a2，∴a＝106.]10．C[∵BD→＝3－12BC→，BC＝8，∴BD＝4(3－1)．又∵ABsinC＝BCsinA，∴ABsin45°＝BCsin75°，∴AB＝sin45°sin75°×BC＝226＋24×8＝8(3－1)．在△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cosB＝[8(3－1)]2＋[4(3－1)]2－2×8(3－1)×4(3－1)×cos60°＝48(3－1)2∴AD＝4(3－3)．]11.27π5解析不妨设三角形三边为a，b，c且a＝6，b＝c＝12，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝122＋122－622×12×12＝78，∴sinA＝1－782＝158.由12(a＋b＋c)·r＝12bcsinA得r＝3155.∴S内切圆＝πr2＝27π5.12．解在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°.由正弦定理，得ABsin∠BCA＝ACsin∠ABC，sin∠ABC＝AC·sin∠BCAAB＝9sin30°5＝910.∵AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC，于是sin∠BAD＝sin∠ABC＝910.同理，在△ABD中，AB＝5，sin∠BAD＝910，∠ADB＝45°，由正弦定理：ABsin∠BDA＝BDsin∠BAD，解得BD＝922.故BD的长为922.13．解(1)设这三个数为n，n＋1，n＋2(n∈N*)，最大角为θ，则cosθ＝n2＋n＋12－n＋222·n·n＋10，化简得n2－2n－30⇒－1n3.又∵n∈N*且n＋(n＋1)n＋2，∴1＜n＜3，∴n＝2.∴cosθ＝4＋9－162×2×3＝－14.(2)设此平行四边形的一边长为a，则夹θ角的另一边长为4－a，平行四边形的面积为S＝a(4－a)·sinθ＝154(4a－a2)＝154[－(a－2)2＋4]≤15.当且仅当a＝2时，Smax＝15.