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章末检测一、选择题1．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为()A．75°B．60°C．45°D．30°2．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝10，则BA→·AC→等于()A．－32B．－23C.23D.323．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是()A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解4．在△ABC中，已知a＝5，b＝15，A＝30°，则c等于()A．25B.5C．25或5D．以上都不对5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B等于()A．－12B.12C．－1D．16．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则sinC等于()A.12B.32C.66D．17．已知△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c.若a＝c＝6＋2，且A＝75°，则b等于()A．2B.6－2C．4－23D．4＋238．在△ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a＝3，b＝4，c＝6，则bccosA＋cacosB＋abcosC的值为()A．61B.612C.614D．1229．在△ABC中，cos2A2＝b＋c2c(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形C．等腰直角三角形D．正三角形10．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，c＝2a，则()A．abB．abC．a＝bD．a与b的大小关系不能确定11．一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半个小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是()A．15海里/时B．5海里/时C．10海里/时D．20海里/时12．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则角B的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3二、填空题13．在△ABC中，2asinA－bsinB－csinC＝________.14．如图，在山腰测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1000米至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为________米．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S＝14(b2＋c2－a2)，则A＝______.16．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ba＋ab＝6cosC，则tanCtanA＋tanCtanB＝________.三、解答题17．设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2bsinA.(1)求角B的大小；(2)若a＝33，c＝5，求b.18.如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．19．已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝π3，求△ABC的面积．20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA－2cosCcosB＝2c－ab.(1)求sinCsinA的值；(2)若cosB＝14，△ABC的周长为5，求b的长．21.如图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问乙船每小时航行多少海里？22．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cosBcosC＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．答案1．B2.A3.D4.C5.D6.D7.A8．B9.A10.A11．C12．D13．014．100015.π416．417．解(1)由a＝2bsinA，根据正弦定理得sinA＝2sinBsinA，所以sinB＝12.由△ABC为锐角三角形，得B＝π6.(2)根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝27＋25－45＝7，所以b＝7.18．解设我艇追上走私船所需要的时间为t小时，则BC＝10t，AC＝14t，在△ABC中，由∠ABC＝180°－105°＋45°＝120°，根据余弦定理知(14t)2＝(10t)2＋122－2·12·10t·cos120°，∴t＝2或t＝－34(舍去)．答我艇追上走私船所需要的时间为2小时．19．(1)证明∵m∥n，∴asinA＝bsinB，即a·a2R＝b·b2R，其中R是△ABC外接圆的半径，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．(2)解由题意知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0.∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴S△ABC＝12absinC＝12×4×sinπ3＝3.20．解(1)由正弦定理，可设asinA＝bsinB＝csinC＝k，则2c－ab＝2ksinC－ksinAksinB＝2sinC－sinAsinB，所以cosA－2cosCcosB＝2sinC－sinAsinB，即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．又A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA.因此sinCsinA＝2.(2)由sinCsinA＝2，得c＝2a.由余弦定理及cosB＝14，得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋4a2－4a2×14＝4a2.所以b＝2a.又a＋b＋c＝5，所以a＝1，因此b＝2.21．解如图所示，连接A1B2，由已知A2B2＝102，A1A2＝302×2060＝102，∴A1A2＝A2B2，又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形，∴A1B2＝A1A2＝102.由已知，A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，在△A1B2B1中，由余弦定理，得B1B22＝A1B21＋A1B22－2A1B1·A1B2·cos45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200.∴B1B2＝102.因此，乙船速度的大小为10220×60＝302(海里/小时)．答乙船每小时航行302海里．22．解(1)由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.又cosBcosC＝－b2a＋c，∴cosBcosC＝－sinB2sinA＋sinC，∴2sinAcosB＋sinCcosB＋cosCsinB＝0，即2sinAcosB＋sin(B＋C)＝0，∵A＋B＋C＝π，∴2sinAcosB＋sinA＝0，∵sinA≠0，∴cosB＝－12，∵0＜B＜π，∴B＝2π3.(2)将b＝13，a＋c＝4，B＝2π3代入b2＝a2＋c2－2accosB，即b2＝(a＋c)2－2ac－2accosB，∴13＝16－2ac(1－12)，求得ac＝3.于是，S△ABC＝12acsinB＝343.