《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版选修1-1【配套备课资源】2.2.2

2.2.2双曲线的几何性质第1页共4页2.2.2双曲线的几何性质一、基础过关1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A．2B．22C．4D．422．双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是()A．y＝±3xB．y＝±13xC．y＝±3xD．y＝±33x3．双曲线x24－y212＝1的焦点到渐近线的距离为()A．23B．2C.3D．14．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于()A．－14B．－4C．4D.145．双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为30°的直线，交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为()A.6B.3C.2D.336．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()A.x25－y24＝1B.x24－y25＝1C.x23－y26＝1D.x26－y23＝1二、能力提升7．若双曲线离心率为5，焦点在x轴上，则其渐近线方程为____________．8．已知圆C过双曲线x29－y216＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．9．如图所示，ABCDEF为正六边形，则以F、C为焦点，且经过A、E、D、B四点的双曲线的离心率为___________________________________________________．10．根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，且过点(－3,23)；2.2.2双曲线的几何性质第2页共4页(2)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．11．已知双曲线的一条渐近线为x＋3y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．12．求证：双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值．三、探究与拓展13．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．若双曲线上存在点P，使sin∠PF1F2sin∠PF2F1＝ac，求该双曲线的离心率的取值范围．2.2.2双曲线的几何性质第3页共4页答案1．C2．C3．A4．A5．B6．A7．y＝±2x8.1639.3＋110．解(1)设所求双曲线方程为x29－y216＝λ(λ≠0)，将点(－3,23)代入得λ＝14，所以双曲线方程为x29－y216＝14，即4x29－y24＝1.故双曲线标准方程为x294－y24＝1.(2)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．由题意易求c＝25.又双曲线过点(32，2)，∴322a2－4b2＝1.又∵a2＋b2＝(25)2，∴a2＝12，b2＝8.故所求双曲线的标准方程为x212－y28＝1.11．解椭圆方程为x264＋y216＝1，可知椭圆的焦距为83.①当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，∴a2＋b2＝48，ba＝33，解得a2＝36，b2＝12.∴双曲线的标准方程为x236－y212＝1.②当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，∴a2＋b2＝48，ab＝33，解得a2＝12，b2＝36.2.2.2双曲线的几何性质第4页共4页∴双曲线的标准方程为y212－x236＝1.由①②可知，双曲线的标准方程为x236－y212＝1或y212－x236＝1.12．证明设P(x0，y0)是双曲线上任意一点，由双曲线的两渐近线方程为bx＋ay＝0和bx－ay＝0，可得P到bx＋ay＝0的距离d1＝|bx0＋ay0|a2＋b2，P到bx－ay＝0的距离d2＝|bx0－ay0|a2＋b2.∴d1d2＝|bx0＋ay0|a2＋b2·|bx0－ay0|a2＋b2＝|b2x20－a2y20|a2＋b2.又P在双曲线上，∴x20a2－y20b2＝1，即b2x20－a2y20＝a2b2，∴d1d2＝a2b2a2＋b2.故P到两条渐近线的距离之积为定值．13．解如图，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由题意及正弦定理得nm＝ac，∴n＝acm.又m－n＝2a，∴m－acm＝2a，即1－acm＝2a，∴m＝2acc－a.又mc＋a，∴2acc－ac＋a，即c2－2ac－a20，∴e2－2e－10，∴1－2e1＋2.又e1，∴1e1＋2.