《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版必修3用样本的数字特征估计总体的数字特征

2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征一、基础过关1．已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为()A．1B.2C.3D．22．在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是()A．众数B．平均数C．中位数D．标准差3．下表是某班50名学生综合能力测试的成绩分布表，则该班成绩的方差为()分数12345人数51010205A.345B．1.36C．2D．44．甲、乙两名学生六次数学测验成绩(百分制)如图所示．①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学高；③甲同学的平均分比乙同学低；④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差．上面说法正确的是()A．③④B．①②④C．②④D．①③5．已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，方差是4，则xy＝________.6．若a1，a2，…，a20，这20个数据的平均数为x，方差为0.20，则数据a1，a2，…，a20，x这21个数据的方差为________．7．(1)已知一组数据x1，x2，…，xn的方差是a，求另一组数据x1－2，x2－2，…，xn－2的方差；(2)设一组数据x1，x2，…，xn的标准差为sx，另一组数据3x1＋a,3x2＋a，…，3xn＋a的标准差为sy，求sx与sy的关系．8．甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：甲273830373531乙332938342836(1)画出茎叶图，由茎叶图你能获得哪些信息？(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、极差、方差，并判断选谁参加比赛比较合适？二、能力提升9.如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为xA和xB，样本标准差分别为sA和sB，则()A.xAxB，sAsBB.xAxB，sAsBC.xAxB，sAsBD.xAxB，sAsB10.如图是2012年某校举行的元旦诗歌朗诵比赛中，七位评委为某位选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为()A．84,4.84B．84,1.6C．85,1.6D．85,0.411．由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)12．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示：(1)请填写表：平均数方差中位数命中9环及9环以上的次数甲乙(2)请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析：①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定)；②从平均数和中位数相结合看(分析谁的成绩好些)；③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些)；④从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力)．三、探究与拓展13．师大附中三年级一班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表：统计量组别平均成绩标准差第一组906第二组804求全班的平均成绩和标准差．2．2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征1．B2.D3．B[平均成绩x＝150(1×5＋2×10＋3×10＋4×20＋5×5)＝3.2，方差s2＝150[5×(1－3.2)2＋10×(2－3.2)2＋10×(3－3.2)2＋20×(4－3.2)2＋5×(5－3.2)2]＝1.36.]4．A[甲的中位数为81，乙的中位数为87.5，故①错，排除B、D；甲的平均分x＝16(76＋72＋80＋82＋86＋90)＝81，乙的平均分x＝16(69＋78＋87＋88＋92＋96)＝85，故③真，∴选A.]5．91解析由题意得即{x＋y＝20，x－102＋y－102＝18.解得{x＝＝13，或{x＝＝7.所以xy＝91.6．0.19解析这21个数的平均数仍为20，从而方差为121×[20×0.2＋(20－20)2]≈0.19.7．解(1)设x1，x2，…，xn的平均数为x，则有：a＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]．∵x1－2，x2－2，…，xn－2的平均数为x－2，则这组数据的方差s2＝x1－2－x＋22＋…＋xn－2－x＋22n＝x1－x2＋…＋xn－x2n＝a.(2)设x1，x2，…，xn的平均数为x，则3x1＋a,3x2＋a，…，3xn＋a的平均数为3x＋a.sy＝s2y＝1n[3x＋a－3x1－a2＋…＋3x＋a－3xn－a2]＝1n·32·[x－x12＋…＋x－xn2]＝9·s2x＝3sx，∴sy＝3sx.8．解(1)画茎叶图，中间数为数据的十位数．从茎叶图上看，甲、乙的得分情况都是分布均匀的，只是乙更好一些．乙发挥比较稳定，总体情况比甲好．(2)x甲＝27＋38＋30＋37＋35＋316＝33.x乙＝28＋29＋33＋34＋36＋386＝33.s2甲＝16[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]≈15.67.s2乙＝16[(28－33)2＋(29－33)2＋(33－33)2＋(34－33)2＋(36－33)2＋(38－33)2]≈12.67.甲的极差为11，乙的极差为10.综合比较以上数据可知，选乙参加比赛较合适．9．B[样本A数据均小于或等于10，样本B数据均大于或等于10，故xAxB，又样本B波动范围较小，故sAsB.]10．C11．1,1,3,3解析假设这组数据按从小到大的顺序排列为x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x44＝2，x2＋x32＝2，∴{x1＋x4＝4，2＋x3＝4.又s＝14[x1－22＋x2－22＋x3－22＋x4－22]＝12x1－22＋x2－22＋4－x2－22＋4－x1－22＝122[x1－22＋x2－22]＝1，∴(x1－2)2＋(x2－2)2＝2.同理可求得(x3－2)2＋(x4－2)2＝2.由x1，x2，x3，x4均为正整数，且(x1，x2)，(x3，x4)均为圆(x－2)2＋(y－2)2＝2上的点，分析知x1，x2，x3，x4应为1,1,3,3.12．解由折线图，知甲射击10次中靶环数分别为：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.将它们由小到大重排为：5,6,6,7,7,7,7,8,8,9.乙射击10次中靶环数分别为：2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.也将它们由小到大重排为：2,4,6,7,7,8,8,9,9,10.(1)x甲＝110×(5＋6×2＋7×4＋8×2＋9)＝7010＝7(环)，x乙＝110×(2＋4＋6＋7×2＋8×2＋9×2＋10)＝7010＝7(环)，s2甲＝110×[(5－7)2＋(6－7)2×2＋(7－7)2×4＋(8－7)2×2＋(9－7)2]＝110×(4＋2＋0＋2＋4)＝1.2，s2乙＝110×[(2－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2×2＋(8－7)2×2＋(9－7)2×2＋(10－7)2]＝110×(25＋9＋1＋0＋2＋8＋9)＝5.4.根据以上的分析与计算填表如下：平均数方差中位数命中9环及9环以上的次数甲71.271乙75.47.53(2)①∵平均数相同，s2甲s2乙，∴甲成绩比乙稳定．②∵平均数相同，甲的中位数乙的中位数，∴乙的成绩比甲好些．③∵平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙少，∴乙成绩比甲好些．④甲成绩在平均数上下波动；而乙处于上升势头，从第四次以后就没有比甲少的情况发生，乙较有潜力．13．解设第一组20名学生的成绩为xi(i＝1,2，…，20)，第二组20名学生的成绩为yi(i＝1,2，…，20)，依题意有：x＝120(x1＋x2＋…＋x20)＝90，y＝120(y1＋y2＋…＋y20)＝80，故全班平均成绩为：140(x1＋x2＋…＋x20＋y1＋y2＋…＋y20)＝140(90×20＋80×20)＝85；又设第一组学生成绩的标准差为s1，第二组学生成绩的标准差为s2，则s21＝120(x21＋x22＋…＋x220－20x2)，s22＝120(y21＋y22＋…＋y220－20y2)(此处，x＝90，y＝80)，又设全班40名学生的标准差为s，平均成绩为z(z＝85)，故有s2＝140(x21＋x22＋…＋x220＋y21＋y22＋…＋y220－40z2)＝140(20s21＋20x2＋20s22＋20y2－40z2)＝12(62＋42＋902＋802－2×852)＝51.s＝51.所以全班同学的平均成绩为85分，标准差为51.