《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版选修1-1【配套备课资源】习题课

习题课导数在研究函数中的应用一、基础过关1．函数f(x)＝xcosx的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致是()2．函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数()A.π2，3π2B．(π，2π)C.3π2，5π2D．(2π，3π)3．已知函数f(x)＝x＋lnx，则有()A．f(2)f(e)f(3)B．f(e)f(2)f(3)C．f(3)f(e)f(2)D．f(e)f(3)f(2)4．函数y＝f(x)的图象如下图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是()5．已知函数f(x)、g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为()A．f(a)－g(a)B．f(b)－g(b)C．f(a)－g(b)D．f(b)－g(a)6．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x0时，有f′(x)0，g′(x)0，则当x0时，有()A．f′(x)0，g′(x)0B．f′(x)0，g′(x)0C．f′(x)0，g′(x)0D．f′(x)0，g′(x)07．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x＋6，若x＝3是f(x)的一个极值点，求f(x)在[0，a]上的最值．二、能力提升8．若函数y＝x3＋32x2＋m在[－2,1]上的最大值为92，则m＝________.9．已知a0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上单调递增，则a的最大值为________．10．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是________．11．设函数f(x)＝aex＋1aex＋b(a0)．(1)求f(x)在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝32x，求a，b的值．12．设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)≤2x－2.三、探究与拓展13．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．答案1．A2．B3．A4．D5．A6．B7．解f′(x)＝3x2－2ax＋3，由已知得f′(3)＝0，∴3×9－6a＋3＝0.∴a＝5，∴f(x)＝x3－5x2＋3x＋6.令f′(x)＝3x2－10x＋3＝0，得x1＝13，x2＝3.则x，f′(x)，f(x)的变化状态如下表.x00，131313，33(3,5)5f′(x)＋0－0＋f(x)6递增61327递减－3递增21∴f(x)在[0,5]上的最大值为f(5)＝21，最小值为f(3)＝－3.8．29．310．(－2,2)11．解(1)f′(x)＝aex－1aex，当f′(x)0，即x－lna时，f(x)在(－lna，＋∞)上递增；当f′(x)0，即x－lna时，f(x)在(－∞，－lna)上递减．①当0a1时，－lna0，f(x)在(0，－lna)上递减，在(－lna，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞)上的最小值为f(－lna)＝2＋b；②当a≥1时，－lna≤0，f(x)在[0，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞)上的最小值为f(0)＝a＋1a＋b.(2)依题意f′(2)＝ae2－1ae2＝32，解得ae2＝2或ae2＝－12(舍去)，所以a＝2e2，代入原函数可得2＋12＋b＝3，即b＝12，故a＝2e2，b＝12.12．(1)解f′(x)＝1＋2ax＋bx.由已知条件得f1＝0，f′1＝2，即1＋a＝0，1＋2a＋b＝2.解得a＝－1，b＝3.(2)证明因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知f(x)＝x－x2＋3lnx.设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3lnx，则g′(x)＝－1－2x＋3x＝－x－12x＋3x.当0x1时，g′(x)0，当x1时，g′(x)0.所以g(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减．而g(1)＝0，故当x0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.13．解当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，f′(x)＝(－x2＋2)ex.当f′(x)0时，(－x2＋2)ex0，注意到ex0，所以－x2＋20，解得－2x2.所以，函数f(x)的单调递增区间为(－2，2)．同理可得，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)．(2)因为函数f(x)在(－1,1)上单调递增，所以f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立．又f′(x)＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0，注意到ex0，因此－x2＋(a－2)x＋a≥0在(－1,1)上恒成立，也就是a≥x2＋2xx＋1＝x＋1－1x＋1在(－1,1)上恒成立．设y＝x＋1－1x＋1，则y′＝1＋1x＋120，即y＝x＋1－1x＋1在(－1,1)上单调递增，则y1＋1－11＋1＝32，故a≥32.