《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版选修1-1利用导数研究函数的极值

3.3.2利用导数研究函数的极值(一)一、基础过关1.函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f′(x)的图象如图，则函数y＝f(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列关于函数的极值的说法正确的是()A．导数值为0的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数3．函数y＝x3－3x2－9x(－2x2)有()A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值4．已知函数f(x)，x∈R，且在x＝1处，f(x)存在极小值，则()A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)05．若函数f(x)＝x2＋ax＋1在x＝1处取极值，则a＝________.6．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为________．7．求下列函数的极值：(1)f(x)＝x3－22x－12；(2)f(x)＝x2e－x.二、能力提升8．若a0，b0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()A．2B．3C．6D．99．若函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是()A．1a2B．1a4C．2a4D．a4或a110.如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y＝f(x)在区间－3，－12内单调递增；②函数y＝f(x)在区间－12，3内单调递减；③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；⑤当x＝－12时，函数y＝f(x)有极大值．则上述判断正确的是________．(填序号)11．已知f(x)＝x3＋12mx2－2m2x－4(m为常数，且m0)有极大值－52，求m的值．12．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？三、探究与拓展13．已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈R.(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；(2)当a≠23时，求函数f(x)的单调区间与极值．答案1．A2．D3．C4．C5．36．97．解(1)函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．∵f′(x)＝x－22x＋12x－13，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－＋0＋f(x)－383故当x＝－1时，函数有极大值，并且极大值为f(－1)＝－38.(2)函数的定义域为R，f′(x)＝2xe－x＋x2·1ex′＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：x(－∞，0)0(0，2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)04e－2由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且为f(0)＝0；当x＝2时，函数有极大值，且为f(2)＝4e－2.8．D[f′(x)＝12x2－2ax－2b，∵f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.又a0，b0，∴a＋b≥2ab，∴2ab≤6，∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立，∴ab的最大值为9.]9．B10．③11．解∵f′(x)＝3x2＋mx－2m2＝(x＋m)(3x－2m)，令f′(x)＝0，则x＝－m或x＝23m.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：x(－∞，－m)－m(－m，23m)23m(23m，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴f(x)极大值＝f(－m)＝－m3＋12m3＋2m3－4＝－52，∴m＝1.12．解(1)f′(x)＝3x2－2x－1.令f′(x)＝0，则x＝－13或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：x(－∞，－13)－13(－13，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以f(x)的极大值是f(－13)＝527＋a，极小值是f(1)＝a－1.(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)0，x取足够小的负数时，有f(x)0，所以曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．由(1)知f(x)极大值＝f(－13)＝527＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1.∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，∴f(x)极大值0或f(x)极小值0，即527＋a0或a－10，∴a－527或a1，∴当a∈(－∞，－527)∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．13．解(1)当a＝0时，f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，故f′(1)＝3e.(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]·ex.令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，由a≠23知，－2a≠a－2.以下分两种情况讨论：①若a23，则－2aa－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：x(－∞，－2a)－2a(－2a，a－2)a－2(a－2，＋∞)F′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)内是增函数，在(－2a，a－2)内是减函数．函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.②若a23，则－2aa－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：x(－∞，a－2)a－2(a－2，－2a)－2a(－2a，＋∞)F′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)内是增函数，在(a－2，－2a)内是减函数．函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.