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2.4.2抛物线的几何性质(一)一、基础过关1．设点A为抛物线y2＝4x上一点，点B(1,0)，且|AB|＝1，则A的横坐标的值为()A．－2B．0C．－2或0D．－2或22．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝8x或y2＝－8xD．x2＝8y或x2＝－8y3．经过抛物线y2＝2px(p0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则y1y2x1x2的值是()A．4B．－4C．p2D．－p24．等腰Rt△ABO内接于抛物线y2＝2px(p0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则Rt△ABO的面积是()A．8p2B．4p2C．2p2D．p25．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．若x1＋x2＝6，则|AB|＝________.二、能力提升6．过抛物线y2＝2px的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影为A1、B1，则∠A1FB1等于()A．45°B．90°C．60°D．120°7.如图所示，过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()A．y2＝32xB．y2＝3xC．y2＝92xD．y2＝9x8．如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水位下降1m后，水面宽________m.9．已知△ABC的三个顶点都在y2＝32x上，A(2,8)，且这个三角形的重心与抛物线的焦点重合，则直线BC的斜率是________．10．线段AB过x轴正半轴上一定点M(m,0)，端点A、B到x轴的距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线．求抛物线的方程．11．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于23，求这条抛物线的方程．12.已知过抛物线y2＝2px(p0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC→＝OA→＋λOB→，求λ的值．三、探究与拓展13．已知动点P到定直线x＝－2的距离与定点F(1,0)的距离的差为1.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若O为原点，A、B是动点P的轨迹上的两点，且△AOB的面积S△AOB＝m·tan∠AOB，试求m的最小值．答案1．B2．C3．B4．B5．86．B7．B8．269．－410．解画图可知抛物线的方程为y2＝2px(p0)，直线AB的方程为x＝ky＋m，由y2＝2pxx＝ky＋m消去x，整理得y2－2pky－2pm＝0，由根与系数的关系得y1y2＝－2pm，由已知条件知|y1|·|y2|＝2m，从而p＝1，故抛物线方程为y2＝2x.11．解设所求抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p0)，设交点A(x1，y1)、B(x2，y2)(y10，y20)，则|y1|＋|y2|＝23，即y1－y2＝23，由对称性知：y2＝－y1，代入上式得y1＝3，把y1＝3代入x2＋y2＝4，得x＝±1.∴点C(1，3)在抛物线y2＝2px上，点C′(－1，3)在抛物线y2＝－2px上，将C、C′代入相应的抛物线方程得3＝2p或3＝－2p×(－1)．∴p＝32，所求抛物线方程为y2＝3x或y2＝－3x.12．解(1)直线AB的方程是y＝22x－p2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝5p4，由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，抛物线方程为y2＝8x.(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0，化简得x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－22，y2＝42，从而A(1，－22)，B(4,42)．设OC→＝(x3，y3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(1＋4λ，－22＋42λ)，又y23＝8x3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.13．解(1)依题意知动点P到定点F(1,0)的距离与到定直线x＝－1的距离相等，由抛物线的定义可知动点P的轨迹方程是y2＝4x.(2)设Ay214，y1，By224，y2，∵S△AOB＝12|OA→||OB→|sin∠AOB，又S△AOB＝m·tan∠AOB，∴12|OA→||OB→|sin∠AOB＝m·tan∠AOB，∴m＝12|OA→||OB→|cos∠AOB＝12OA→·OB→＝12y21y2216＋y1y2＝132(y1y2＋8)2－2，∴mmin＝－2，此时y1y2＝－8.