《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版选修2-1【配套备课资源】抛物线的几何性

2.4.2抛物线的几何性质(二)一、基础过关1．已知抛物线y2＝2px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－22．已知抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且|P1F|，|P2F|，|P3F|成等差数列，则有()A．x1＋x2＝x3B．y1＋y2＝y3C．x1＋x3＝2x2D．y1＋y3＝2y23．设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px(p0)的焦点，A是抛物线上的一点，FA→与x轴正向的夹角为60°，则|OA|为()A.214pB.212pC.136pD.1336p4．已知F是抛物线y＝14x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是()A．x2＝2y－1B．x2＝2y－116C．x2＝y－12D．x2＝2y－25．抛物线x2＝ay(a≠0)的焦点坐标为__________．6．设抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，点A(0，2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．二、能力提升7．若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆M：(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值是()A.3－1B.102－1C．2D.112－18．过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F作两弦AB和CD，其所在直线的倾斜角分别为π6与π3，则|AB|与|CD|的大小关系是()A．|AB||CD|B．|AB|＝|CD|C．|AB||CD|D．|AB|≠|CD|9．设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(3，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比S△BCFS△ACF＝________.10．已知过抛物线y2＝2px(p0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝52p，求AB所在的直线方程．11．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．(1)如果直线l过抛物线的焦点，求OA→·OB→的值；(2)如果OA→·OB→＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．12．抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，准线与x轴交点为Q，过Q点的直线l交抛物线于A、B两点．(1)直线l的斜率为22，求证：FA→·FB→＝0；(2)设直线FA、FB的斜率为kFA、kFB，探究kFB与kFA之间的关系并说明理由．三、探究与拓展13．已知过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则称AB为抛物线的焦点弦．求证：(1)y1y2＝－p2；x1x2＝p24；(2)1|FA|＋1|FB|＝2p；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．答案1．B2．C3．B4．A5.0，a46.3427．D8．A10．解如图所示，抛物线y2＝2px(p0)的准线为x＝－p2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，设A、B到准线的距离分别为dA，dB，由抛物线的定义知，|AF|＝dA＝x1＋p2，|BF|＝dB＝x2＋p2，于是|AB|＝x1＋x2＋p＝52p，x1＋x2＝32p.当x1＝x2时，|AB|＝2p52p，直线AB与Ox不垂直．设直线AB的方程为y＝kx－p2.由y＝kx－p2，y2＝2px，得k2x2－p(k2＋2)x＋14k2p2＝0.x1＋x2＝pk2＋2k2＝32p，解得k＝±2.∴直线AB的方程为y＝2x－p2或y＝－2x－p2.11．解(1)由题意知，抛物线焦点为(1,0)，设l：x＝ty＋1，代入抛物线方程y2＝4x，消去x，得y2－4ty－4＝0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.(2)设l：x＝ty＋b，代入抛物线方程y2＝4x，消去x，得y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b.∵OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b，令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，∴直线l过定点(2,0)．12．(1)证明∵Q－p2，0，∴直线l的方程为y＝22x＋p2，由y＝22x＋p2y2＝2px.消去x得y2－22py＋p2＝0.解得A3＋222p，2＋1p，B3－222p，2－1p.而Fp2，0，故FA→＝((1＋2)p，(1＋2)p)，FB→＝((1－2)p，(2－1)p)，∴FA→·FB→＝－p2＋p2＝0.(2)解kFA＝－kFB或kFA＋kFB＝0.因直线l与抛物线交于A、B两点，故直线l方程：y＝kx＋p2(k≠0)．由y＝kx＋p2y2＝2px，消去x得ky2－2py＋kp2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝p2.kFA＝y1x1－p2，kFB＝y2x2－p2，∴kFA＝p2y2y212p－p2＝p2y2p2y222p－p2＝y2p2－y222p＝－kFB.13．证明如图所示．(1)抛物线y2＝2px(p0)的焦点Fp2，0，准线方程：x＝－p2.设直线AB的方程为x＝ky＋p2，把它代入y2＝2px，化简，得y2－2pky－p2＝0.∴y1y2＝－p2，∴x1x2＝y212p·y222p＝y1y224p2＝－p224p2＝p24.(2)根据抛物线定义知|FA|＝|AA1|＝x1＋p2，|FB|＝|BB1|＝x2＋p2，∴1|FA|＋1|FB|＝1x1＋p2＋1x2＋p2＝22x1＋p＋22x2＋p＝22x2＋p＋22x1＋p2x1＋p2x2＋p＝4x1＋x2＋4p4x1x2＋2px1＋x2＋p2＝4x1＋x2＋p2px1＋x2＋p＝2p.(3)设AB中点为C(x0，y0)，过A、B、C分别作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，C1.则|CC1|＝12·(|AA1|＋|BB1|)＝12(|AF|＋|BF|)＝12·|AB|.∴以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切．