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习题课基本计数原理一、基础过关1．如图，小圆点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可沿不同的路径同时传递，则单位时间传递的最大信息量是()A．26B．24C．20D．192．已知x∈{1,2,3,4}，y∈{5,6,7,8}，则xy可表示不同值的个数为()A．4B．8C．16D．153．从0,1,2，…，9这10个数字中，任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点(a，b)的坐标，能够确定不在x轴上的点的个数是()A．100B．90C．81D．724．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A．48B．18C．24D．365．现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有()A．24种B．30种C．36种D．48种6．将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，如图是一种填法，则不同的填写方法共有()A．6种B．12种C．24种D．48种二、能力提升7．五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案有________种．8．有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有______种不同的取法．9．某班从6名学生中选出4人分别参加数、理、化、生四科竞赛且每科只有1人，其中甲、乙两人不能参加生物竞赛．则不同的选派方法共有________种．10．若把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有________对．11．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形个数是多少？12．从{－3，－2，－1,0,1,2,3}中，任取3个不同的数作为抛物线方程y＝ax2＋bx＋c的系数，如果抛物线经过原点，且顶点在第一象限，则这样的抛物线共有多少条？三、探究与拓展13．(1)从5种颜色中选出三种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每个顶点上染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，求不同的染色方法总数．(2)从5种颜色中选出四种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每个顶点上染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，求不同的染色方法总数．答案1．D2.D3.C4．D5．D6．B7．968.2429.24010．2411．解设较小的两边长为x，y，且x≤y，则x≤y≤11，x＋y11，x，y∈N*.当x＝1时，y＝11；当x＝2时，y＝10,11；当x＝3时，y＝9,10,11；当x＝4时，y＝8,9,10,11；当x＝5时，y＝7,8,9,10,11；当x＝6时，y＝6,7,8,9,10,11；当x＝7时，y＝7,8,9,10,11；当x＝8时，y＝8,9,10,11；当x＝9时，y＝9,10,11；当x＝10时，y＝10,11；当x＝11时，y＝11.所以不同三角形的个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36.12．解因为抛物线经过原点，所以c＝0，从而知c只有1种取值．又抛物线y＝ax2＋bx＋c顶点在第一象限，所以顶点坐标满足－b2a0，4ac－b24a0，由c＝0解得a0，b0，所以a∈{－3，－2，－1}，b∈{1,2,3}，这样要求的抛物线的条数可由a，b，c的取值来确定：第一步：确定a的值，有3种方法；第二步：确定b的值，有3种方法；第三步：确定c的值，有1种方法．由分步乘法计数原理知，表示的不同的抛物线有N＝3×3×1＝9(条)．13．解(1)如图，由题意知，四棱锥S－ABCD的顶点S、A、B所染色互不相同，则A、C必须颜色相同，B、D必须颜色相同，所以，共有5×4×3×1×1＝60(种)．(2)由题意知，四棱锥S－ABCD的顶点S、A、B所染色互不相同，则A、C可以颜色相同，B、D可以颜色相同，并且两组中必有一组颜色相同．所以，先从两组中选出一组涂同一颜色，有2种选法(如：B、D颜色相同)；再从5种颜色中，选出四种颜色涂在S、A、B、C四个顶点上，有5×4×3×2＝120(种)涂法；根据分步乘法计数原理，共有2×120＝240(种)不同的涂法．