综合检测一、选择题1.已知△ABC中,tanA=-512,则cosA等于()A.1213B.513C.-513D.-12132.已知向量a=(2,1),a+b=(1,k),若a⊥b,则实数k等于()A.12B.-2C.-7D.33.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,则AB→·AC→等于()A.-16B.-8C.8D.164.已知sin(π-α)=-2sin(π2+α),则sinαcosα等于()A.25B.-25C.25或-25D.-155.函数y=Asin(ωx+φ)(ω0,|φ|π2,x∈R)的部分图像如图所示,则函数表达式为()A.y=-4sinπ8x+π4B.y=4sinπ8x-π4C.y=-4sinπ8x-π4D.y=4sinπ8x+π46.若|a|=2cos15°,|b|=4sin15°,a,b的夹角为30°,则a·b等于()A.32B.3C.23D.127.把函数f(x)=sin-2x+π3的图像向右平移π3个单位可以得到函数g(x)的图像,则gπ4等于()A.-32B.32C.-1D.18.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若AD→=2DB→,CD→=13CA→+λCB→,则λ等于()A.23B.13C.-13D.-239.若2α+β=π,则y=cosβ-6sinα的最大值和最小值分别是()A.7,5B.7,-112C.5,-112D.7,-510.已知向量a=(sin(α+π6),1),b=(4,4cosα-3),若a⊥b,则sin(α+4π3)等于()A.-34B.-14C.34D.1411.将函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像向左平移π2个单位,若所得图像与原图像重合,则ω的值不可能等于()A.4B.6C.8D.12二、填空题12.sin2010°=________.13.已知向量a=(1-sinθ,1),b=12,1+sinθ(θ为锐角),且a∥b,则tanθ=________.14.已知A(1,2),B(3,4),C(-2,2),D(-3,5),则向量AB→在CD→上的投影为________.15.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω0,-π2≤φ≤π2)的图像上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22,且过点(2,-12),则函数f(x)的解析式为________.三、解答题16.已知向量a=(sinx,32),b=(cosx,-1).(1)当a∥b时,求2cos2x-sin2x的值;(2)求f(x)=(a+b)·b在[-π2,0]上的最大值.17.设向量a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ,-4sinβ).(1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值;(2)求|b+c|的最大值;(3)若tanαtanβ=16,求证:a∥b.18.已知向量a=(sinθ,-2)与b=(1,cosθ)互相垂直,其中θ∈(0,π2).(1)求sinθ和cosθ的值;(2)若5cos(θ-φ)=35cosφ,0φπ2,求cosφ的值.19.已知函数f(x)=sin(π-ωx)cosωx+cos2ωx(ω0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)将函数y=f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图像,求函数g(x)在区间[0,π16]上的最小值.20.已知函数f(x)=4cos4x-2cos2x-1sinπ4+xsinπ4-x.(1)求f(-11π12)的值;(2)当x∈[0,π4)时,求g(x)=12f(x)+sin2x的最大值和最小值.21.已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),|a-b|=255.(1)求cos(α-β)的值;(2)若0απ2,-π2β0,且sinβ=-513,求sinα.答案1.D2.D3.D4.B5.A6.B7.D8.A9.D10.B11.B12.-1213.114.210515.f(x)=sin(πx2+π6)16.解(1)∵a∥b,∴32cosx+sinx=0,∴tanx=-32,2cos2x-sin2x=2cos2x-2sinxcosxsin2x+cos2x=2-2tanx1+tan2x=2013.(2)f(x)=(a+b)·b=22sin(2x+π4).∵-π2≤x≤0,∴-3π4≤2x+π4≤π4,∴-1≤sin(2x+π4)≤22,∴-22≤f(x)≤12,∴f(x)max=12.17.(1)解因为a与b-2c垂直,所以a·(b-2c)=4cosαsinβ-8cosαcosβ+4sinαcosβ+8sinαsinβ=4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,因此tan(α+β)=2.(2)解由b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ),得|b+c|=sinβ+cosβ2+4cosβ-4sinβ2=17-15sin2β≤42.又当β=-π4+kπ(k∈Z)时,等号成立,所以|b+c|的最大值为42.(3)证明由tanαtanβ=16得4cosαsinβ=sinα4cosβ,所以a∥b.18.解(1)∵a⊥b,∴a·b=sinθ-2cosθ=0,即sinθ=2cosθ.又∵sin2θ+cos2θ=1,∴4cos2θ+cos2θ=1,即cos2θ=15,∴sin2θ=45.又θ∈(0,π2),∴sinθ=255,cosθ=55.(2)∵5cos(θ-φ)=5(cosθcosφ+sinθsinφ)=5cosφ+25sinφ=35cosφ,∴cosφ=sinφ.∴cos2φ=sin2φ=1-cos2φ,即cos2φ=12.又∵0φπ2,∴cosφ=22.19.解(1)因为f(x)=sin(π-ωx)cosωx+cos2ωx,所以f(x)=sinωxcosωx+1+cos2ωx2=12sin2ωx+12cos2ωx+12=22sin2ωx+π4+12.由于ω0,依题意得2π2ω=π,所以ω=1.(2)由(1)知f(x)=22sin2x+π4+12,所以g(x)=f(2x)=22sin4x+π4+12.当0≤x≤π16时,π4≤4x+π4≤π2,所以22≤sin4x+π4≤1.因此1≤g(x)≤1+22.故g(x)在区间0,π16上的最小值为1.20.解(1)f(x)=1+cos2x2-2cos2x-1sinπ4+xsinπ4-x=cos22xsinπ4+xcosπ4+x=2cos22xsinπ2+2x=2cos22xcos2x=2cos2x,∴f(-11π12)=2cos(-11π6)=2cosπ6=3.(2)g(x)=cos2x+sin2x=2sin(2x+π4).∵x∈[0,π4),∴2x+π4∈[π4,3π4).∴当x=π8时,g(x)max=2,当x=0时,g(x)min=1.21.解(1)∵|a|=1,|b|=1,|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2=|a|2+|b|2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1+1-2cos(α-β)=2-2cos(α-β),|a-b|2=(255)2=45,∴2-2cos(α-β)=45,∴cos(α-β)=35.(2)∵-π2β0απ2,∴0α-βπ.由cos(α-β)=35得sin(α-β)=45,由sinβ=-513得cosβ=1213.∴sinα=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ=45×1213+35×(-513)=3365.